Page 128 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Dört Boyutlu Uzayda Dönme 127

gerdi˘ gi düzlemdir.

⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎫
0 −2
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎨ ⎬
⎢ 0 ⎥ ⎢ 2 ⎥
u 1 = ⎢ ⎥  u 2 = ⎢ ⎥ ↔ 1
⎣ 1 ⎦ ⎣ 0 ⎦
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎭
0 1
oldu˘ gu bulunabilir. O halde, dönme bu iki vektörün gerdi˘ gi düzleme dik düzlemde gerçekle¸sir. Bu
normal düzlemi :
V  =Sp {(0 0 1 0) ; (−2 2 0 1)} = {(−2 2  ):   ∈ R}
biçiminde ifade edebiliriz.
c) Normal düzlemdeki herhangi bir noktanın koordinatının bu dönme ile de˘ gi¸smedi˘ gini görebilirsiniz.
Gerçekten de,
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
4 −10 −8 −2 −2
1 ⎢ −7 4 0 −4 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
9 ⎣ 0 0 9 0 ⎦ ⎣  ⎦ ⎣  ⎦
4 8 0 1  
olacaktır.
d) Dönme düzlemi, V  düzlemine dik düzlemdir. V  uzayına dik düzlemi de,

V  =Sp {(1 1 0 0) ; (1 −1 0 4)}
¸ seklinde yazabiliriz. Bu vektörleri, R matrisinin di˘ ger kompleks özde˘ gerlerine kar¸sılık gelen vektörler­
den elde edebiliriz.
⎧⎡ ⎤⎫ ⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎫
1 ± 3 1 ±3
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ −1 ± 3 ⎥ ⎢ −1 ⎥ ⎢ ±3 ⎥

⎢ ⎥ ↔ ± ⇒ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ 0 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ 0 ⎦
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
4 4 0
oldu˘ gu hesaplanabilir.
e)
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
4 −10 −8 1 −6
2
1 ⎢ −7 4 0 −4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −3 ⎥
R (x)= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
9 ⎣ 0 0 9 0 ⎦ ⎣ 3 ⎦ ⎣ 3 ⎦
4 8 0 1 7 3
√
olur. kxk = kR (x)k =3 7 oldu˘ gundan,
 h(1 2 3 7)  (−6 −3 3 3)i 2
cos 6= =
2 63 7
oldu˘ gu görülür. Çünkü, x vektörünün V  normal düzlem bile¸seni dönmez ve sabit kalır, dönen sadece
V  dönme düzlemi bile¸senidir.
f) x ∈ V  ⊕ V  olmak üzere, x = x  + x   x  ∈ V  ve x  ∈ V  bile¸senlerini bulalım.
3
x =[3 (0 0 1 0) + 1 (−2 2 0 1)] + [(1 1 0 0) + (1 −1 0 4)]
2
=(−2 2 3 1) + (3 0 0 6)
= x  + x 
oldu˘ gundan, x  =(−2 2 3 1) ve x  =(3 0 0 6) bulunur. R matrisi, x  bile¸senini de˘ gi¸stirmezken,