Page 126 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Dört Boyutlu Uzayda Dönme 125

oldu˘ gundan,

hx R (x)i hx  1 + x  2  R (x  1 )+ R (x  2 )i
=
kxkkR (x)k k 2
kx  1 + x  2
)i
 R (x  2
)i + hx  2
cos  =
hx  1
 R (x  1
2 2
k
kx  1 k + kx  2
2 2
k cos  2
kx  1 k cos  1 + kx  2
cos  =
2 2
k
kx  1 k + kx  2
oldu˘ gu görülür.
¨ ¥
˙
9.3 F 4­Boyutlu Izoklinik Dönme (4D Isoclinic Rotation)F
§ ¦
˙ Izoklinik dönme, farklı iki düzlemde aynı miktarda olan dönmedir. Yani, ikili dönmede e˘ ger
dönme açıları e¸sit ise, bu tür dönmelere özel olarak izoklinik dönme adı verilir. Örne˘ gin,
{   } koordinat sistemine göre,
⎡ ⎤
cos  0 0 − sin 
⎢ 0 cos  − sin  0 ⎥
R  = ⎢ ⎥
⎣ 0 sin  cos  0 ⎦
sin  0 0 cos 
matrisi,  ve  düzlemlerinde  açısı kadar dönme belirtir. Bu dönmelerin her ikisinde
˙
de dönme açısı aynı oldu˘ gundan bu dönme bir izoklinik dönme olur. Izoklinik dönmelerde
dönmenin gerçekle¸sti˘ gi düzlemler tek türlü belirli de˘ gildir. Dönmenin gerçekle¸sti˘ gi sonsuz
sayıda birbirine ortogonal düzlem çifti bulunabilir.

© ª ˙

NOT : R ∈  (4) matrisinin özde˘ gerleri   − ise R bir izoklinik dönme matrisidir. Izoklinik
dönme matrisini e¸sit iki dönme açısını alt indis olarak yazarak, R  biçiminde ifade ederiz.

Dört Boyutlu Uzayda Basit Dönmede Dönme Açısı}

9.3 Teorem R  bir izoklinik dönme matrisi ve  dönme açısı olmak üzere, herhangi
x ∈ R için, x vektörü ile R (x) vektörü arasındaki açı  olmak üzere,
4
hx R (x)i
cos  =cos  =
kxkkR (x)k
e¸sitli˘ gi sa˘ glanır.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
olmak üzere,
x  2 ∈ V  1 ve x  1 ∈ V  2
x = x  1 + x  2
vektörlerinin her ikisi de, kendi bulundukları düzlemde  açısı kadar
olsun. x  1 ve x  1