Page 122 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Clifford Cebiri ve Kuaterniyonlar 121

Kuaterniyonlar Kümesi ve Clifford Altcebiri

¡
8.3 Teorem Kuaterniyonlar kümesi  30 R 3 ¢ Clifford cebirinin bir çift altcebiridir.
¢
= H.
 + ¡ R 3 ∼
30
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
¡ 3 ¢ 3 2 2 2
 30 R cebiri, x =( 1  2  3 ) ∈ R için  (x)= − −  −  kuadratik formuyla
1 2 3
3
donatılmı¸s V = R vektör uzayı tarafından üretilen Clifford cebiridir. Bu cebir, {e 1  e 2  e 3 }
R ’ün ortogonal tabanı olmak üzere,
3
{1 e 1  e 2  e 3  e 1 e 2  e 1 e 3  e 2 e 3  e 1 e 2 e 3 }
tarafından üretilir.  + ¡ R 3 ¢ Clifford çift altcebiri ise, üreteçlerden çift çarpımlı olanlarla,
30
yani
{1 e 1 e 2  e 1 e 3  e 2 e 3 }
ile üretilen cebirdir. Bu cebir,  + ¡ R 3 ¢ ile gösterilir.
30
2
2
e 2 1 =  (e 1 )= −1 e =  (e 2 )= −1 e =  (e 3 )= −1
3
2
e 1 e 2 + e 2 e 1 =0 e 1 e 3 + e 3 e 1 =0 e 2 e 3 + e 3 e 2 =0
e¸sitlikleri ve birle¸sme özelli˘ gini kullanarak
2
2
2
(e 1 e 2 ) =(e 1 e 3 ) =(e 2 e 3 ) = −1
oldu˘ gu görülür. O halde,  + ¡ R 3 ¢ Clifford altcebirini daha açık ifade edecek olursak,
30
½ 2 2 2 ¾
 + ¡ R 3 ¢ =  1 + 2 e 1 + 3 e 2 + 4 e 1 e 2 : q ∈ R (e 2 e 3 ) =(e 1 e 3 ) =(e 1 e 2 ) = − 1
30

e  e  +e  e  =0 6=   =1 2 3
¸ seklinde ifade edebiliriz. Buna göre,
e 2 e 3 → i e 1 e 3 → j e 1 e 2 → k
izomorfzimi ile
¢
 + ¡ R 3 ∼
= H
30
olur.