Page 117 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

116 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Bir birle¸stirici cebir, ya bölüm cebiridir ya da parçalı (split) cebirdir. E˘ ger,  (x)= xx =0
olacak ¸sekilde bir x ∈ C var ise, bu cebir split cebirdir. Split kompleks sayılar, split ku­
aterniyonlar gibi. Bu ¸sekildeki, x elemanlarına da null, izotropik veya lightlike eleman denir.
Bu elemanların tersi yoktur. E˘ ger bir birle¸stirici cebirde null eleman yok ise, bu cebir bölüm
cebiridir. Böylece, tanımlanan norm ile birlikte, bu cebire normlu bölüm cebiri denir. Reel
sayılar cismi üzerinde tanımlanan 4 normlu bölüm cebiri vardır. Bunlar : reel sayılar, kompleks
sayılar, kuaterniyonlar ve oktanyonlardır.
Her birle¸stirici cebir için,  kuadratik formu yardımıyla
1
B (x y)= ( (x + y) −  (x) −  (y))
2
biçiminde bir bilineer form tanımlanabilir.

¨ ¥
8.9 F Clifford Cebiri F
§ ¦
Bir  kuadratik formuyla donatılmı¸sbir V vektör uzayı tarafından, her x y ∈ V için
2
y =  (y) (8.1)

x · y + y · x =2B  (x y) (8.2)
¸ seklinde tanımlanarak üretilen birle¸smeli cebire Clifford cebiri denir ve  (V) ile gös­
terilir. Ayrıca (82) e¸sitli˘ gi temel Clifford özde¸sli˘ gi olarak adlandırılır.
Uyarı : Bir  nondejenere kuadratik formuyla donatılmı¸sbir V vektör uzayı için
{e 1  e 2  e  } bir ortogonal taban ise,  6=  için B  (e   e  )= 0 olacaktır. Bu durumda
temel Clifford özde¸sli˘ gi,  6=  için
e  e  + e  e  =0
olur.

Clifford Cebirinin Tabanı
V boyutlu bir vektör uzayı ve {e 1  e 2  e  } kümesi V uzayının bir tabanı ise  (V)
cebiri
:1 ≤  1 ≤  2 ≤  ≤   ≤  1 ≤  ≤ }
{1} ∪ {e  1 · e  2 ·· · e  
kümesi tarafından üretilir ve
 µ ¶
X 
boy ( (V)) = =2 

=1
e¸sitli˘ gi vardır.

Örnek 8.8
Bir  kuadratik formuyla donatılmı¸sbir V = R vektör uzayı için {e 1  e 2  e 3 } bir taban olmak üzere,
3
 (V) Clifford cebiri

{1 e 1  e 2  e 3  e 1 e 2  e 1 e 3  e 2 e 3  e 1 e 2 e 3 }
kümesi tarafından üretilir ve boy ( (V)) = 2 ’tür.
3