Page 119 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

118 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Bu vektör uzayının üretti˘ gi Clifford cebiri ise
¡ + ¢ ¡ + ¢ ¡ + ¢
 R   =   R  =  R 
ile gösterilebilir. Bu ¸sekildeki kuadratik formlar için

  (x y)= − 1  1 −  2  2 − ··· −     +  +1  +1 + ·· · +  +  +
olur ve {e 1  e 2  e + } R + için bir ortogonal taban olmak üzere
e  e  + e  e  =2  (e   e  )=0; ( 6= ) için
olur. Böylece {e 1  e 2  e + } ortogonal tabanına ve ( ) i¸saretine sahip R + vektör uzayı

tarafından üretilen Clifford cebiri
2
e = −1; ( =1 2 )

2
e =1; ( =  +1  + )

e  e  + e  e  =0; ( 6= )
ba˘ gıntılarını sa˘ glayan birle¸smeli cebirdir.

Örnek 8.10
V = R ve x =( 1  2  3  4  5 ) ∈ R için  (x)= − −  +  +  +  kuadratik formu
2
5
2
2
2
5
2
3
5
4
1
2
(2 3) i¸saretine sahiptir. Bu kuadratik form ile birlikte reel vektör uzayı R ile gösterilir ve
5
2
  (x y)= − 1  1 −  2  2 +  3  3 +  4  4 +  5  5
olur. {e 1  e 2  e 3  e 4  e 5 }, R için bir ortogonal taban olmak üzere, R vektör uzayı tarafından üretilen
5
5
2
2
Clifford cebiri
2
2
e = −1; ( =1 2)  e =1; ( =3 4 5)  e  e  + e  e  =0; ( 6= )
 
ba˘ gıntılarını sa˘ glayan birle¸smeli cebirdir.
En Önemli Clifford Cebirleri
En önemli Clifford cebirleri, nondejenere kuadratik formlarla donatılmı¸s reel ve kompleks
vektör uzayları tarafından üretilen Clifford cebirleridir.
Örnek 8.11
¡ ¢
1
2
(Kompleks Sayılar)  10 R , x =  1 ∈ R için  (x)= − kuadratik formuyla donatılmı¸s V = R
1
1
vektör uzayı tarafından üretilen Clifford cebiridir. {1 e 1 } ile
2
e =  (e 1 )= −1
1
¸ seklinde tanımlanarak üretilir. Böylece
¡ 1 ¢ © 2 ª
 10 R = z =  + e 1  :   ∈ R e = −1 = C
∼
1 1
olur.
Örnek 8.12
2
(Split Kompleks Sayılar)  01 (R), x =  1 ∈ R için  (x)=  kuadratik formuyla donatılmı¸s
1
2
V = R vektör uzayı tarafından üretilen Clifford cebiridir. {1 e 1 } ile e =  (e 1 )=1 ¸seklinde
1
tanımlanarak üretilir. Böylece
© 2 ª
 01 (R)= z =  + e 1  :   ∈ R e =1 = P
∼
1
olur. Bu cebir p hiperbolik sayılar cebirini temsil etmektedir. Genellikle e 1 = h veya e 1 =  ile
gösterilir.