Page 114 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Clifford Cebiri ve Kuaterniyonlar 113

Örnek 8.2
Ters simetrik reel matrisler kümesi reel sayılar cismi üzerinde, hermityen matrisler kümesi de kompleks
sayılar cismi üzerinde

 ∗  =( + ) 2
i¸slemine göre bir Jordan cebiridir.

¨ ¥
8.3 F Bölüm Cebiri (Division Algebra) F
§ ¦
Bir cisim üzerinde tanımlanan ve sıfır hariç her eleman için bölmenin tanımlı oldu˘ gu cebire,
bölüm cebiri denir. Buna göre, C kümesinde verilen herhangi bir  ∈ C ve sıfırdan farklı bir
 ∈ C için,
 =  ve  = 
olacak ¸sekilde, C kümesinde bir tek  ve bir tek  elemanı var ise, C kümesine bölüm
cebiridir denir. E˘ ger, cebir birle¸simli ise bu tanımı daha da kısaltabiliriz. Bir birle¸simli
C cebirinde, sıfırdan farklı her elemanın bir çarpımsal tersi var ise, yani her  ∈ C için,
 =  =1
olacak ¸sekilde bir  ∈ C var ise, C kümesi bir bölüm cebiridir.

Bu kitapta, bölüm cebirleriyle ilgili ayrıntıya girmeyece˘ giz. Fakat, bölüm cebirlerinin özelliklerini kısaca verelim.
1. En iyi bilinen birle¸smeli bölüm cebirleri, R reel vektör uzayı üzerinde sonlu boyutlu olan, reel sayılar cebiri,
kompleks sayılar cebiri ve kuaterniyonlar cebiridir. Kuaterniyonlar cebiri, R reel vektör uzayı üzerinde dört boyutlu
olan bir cebirdir.
2. E˘ ger C sonlu bir bölüm cebiri ise bir cisimdir. Bu teorem, Wedderburn teoremi olarak bilinir.
3. Birle¸smeli bölüm cebirlerinin sıfır bölenleri yoktur.
4. Herhangi sonlu boyutlu reel bölüm cebirlerinin, yani reel vektör uzayı üzerinde tanımlanan cebirlerin boyutları
2’nin kuvetleri ¸seklindedir. Hatta, 1,2,4,8 olabilir.
5. Reel vektör uzayı üzerinde tanımlanan sonlu boyutlu bölüm cebirleri, e˘ ger birle¸simli ve de˘ gi¸smeli ise, R veya C
kümesine izomorftur.
6. Reel vektör uzayı üzerinde tanımlanan sonlu boyutlu bölüm cebirleri, birle¸simli ama de˘ gi¸smeli de˘ gil ise, H
kuaterniyonlar cebirine izomorftur.
7. Reel vektör uzayı üzerinde tanımlanan sonlu boyutlu bölüm cebirleri, birle¸simli olmayan, ama alternatif olarak
adlandırılan  ()=()  ve ()  =  () özelli˘ gini sa˘ glayan bir cebir ise, oktanyonlar kümesine izomorftur.
Oktanyonlar daha sonra kısaca ele alınacaktır.

¨ ¥
˙
8.4 F Ikilineer Form (Bilinear Form) F
§ ¦
V F cismi üzerinde  boyutlu bir vektör uzayı olmak üzere, B : V×V → F dönü¸sümü, her
x y z ∈ V ve  ∈ F için
i. B (x + y z)= B (x z)+ B (y z)
ii. B (xy + z)= B (x y)+ B (x z)
özelliklerini sa˘ glıyorsa B dönü¸sümüne bilineer form denir. Herhangi bir bilineer form
 =(  ) ∈ M × (F) olmak üzere, her x y ∈ V için


P
B(x y)= x y =   x  y 
=1
biçiminde yazılabilir. Ayrıca her x y ∈ V için B (x y)= B (y x) ise B ’ye simetrik
bilineer form, B (x y)= −B (y x) ise B ’ye ters simetrik bilineer form denir.