Page 113 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Clifford Cebiri ve Kuaterniyonlar

Kompleks sayılar cismi, kuaterniyonlar halkası, split kuaterniyonlar halkası ve matrisler cebiri
gibi önemli sayı kümelerinin her biri, bir Clifford cebridir. Bu bölümde, Clifford cebirinin
tanımı ve temel özellikleri verilecektir.

¨ ¥
8.1 F Cebir (Algebra ) F
§ ¦
Bir F cismi üzerinde bir V vektör uzayı verilsin. Bu vektör uzayında,
∗ : V × V → V
ikili i¸slemi a¸sa˘ gıdaki ko¸sulları sa˘ glıyorsa, bu vektör uzayına bu i¸slemle birlikte, F cismi
üzerinde bir cebir denir.
Her u v w ∈ V ve her  ∈  için,
C1. u∗(v + w)= u ∗ v+u ∗ w ve (v + w)∗u = v ∗ u+w ∗ u (Da˘ gılma Özelli˘ gi)
C2. (u ∗ v)=(u) ∗ v = u ∗ (v) (Skalerle Çarpım Özelli˘ gi)
E˘ ger, bu cebir,
C3. u ∗ (v ∗ w)=(u ∗ v) ∗ w (Birle¸sme Özelli˘ gi)
ko¸sulunu da sa˘ glıyorsa, bu cebire birle¸smeli cebir denir. R reel sayılar cismi üzerinde tanım­
lanan cebire reel cebir, C kompleks sayılar cismi üzerinde tanımlanan cebire de komplex
cebir denir.

Örnek 8.1
i. V = R vektörel çarpma i¸slemiyle birlikte bir cebirdir.
3
ii. C kompleks sayılar kümesi çarpma i¸slemiyle birlikte bir cebirdir.
iii. × türünden reel veya kompleks matrislerin kümesi, matris çarpımı i¸slemiyle birlikte bir cebirdir.

Kuaterniyonlar Kümesi, Kuaterniyon Çarpımına Göre Birle¸simli Cebirdir.i

8.1 Teorem H kuaterniyonlar kümesi, kuaterniyon çarpımına göre bir birle¸simli ce­
birdir.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Kuaterniyonlar kümesinde, kuaterniyon çapımı bir ikili i¸slemdir ve C1., C2. ve C3. özellik­
lerini sa˘ gladı˘ gından bir birle¸simli cebirdir.

¨ ¥
8.2 F Jordan Cebiri F
§ ¦
Bir F cismi üzerinde bir V vektör uzayı verilsin. Bu vektör uzayında,
∗ : V × V → V
ikili i¸slemiyle birlikte, F cismi üzerinde bir birle¸smeli olmayan cebir olsun. E˘ ger,
J1. u ∗ v = v ∗ u (De˘ gi¸sme Özelli˘ gi)
J2. (u ∗ v)(u ∗ u)= u ∗ (v∗ (u ∗ u)) (Jordan Özde¸sli˘ gi)
ko¸sulları sa˘ glanıyorsa, V vektör uzayına bu ikili i¸slemle birlikte bir Jordan cebiri denir.