Page 112 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar Kümesinin Cebirsel Özellikleri 111

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Kuaterniyon tabanı ile  2  1  2  3 a¸sa˘ gıdaki e¸sle¸stirme bize izomorfizm verir.
1 ↔  2  i ↔  3  j ↔  2  k ↔  1 
Burada,
2
2
2
2
2
2
( 1 ) =( 2 ) =( 3 ) =( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) = −1
oldu˘ gu kolayca görülebilir. Buna göre,
∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸
10  0 0 1 0 
1 ↔  i ↔  j ↔  k ↔
01 0 − −10  0
biçiminde e¸slenir.

7.1 Alıştırma  1  2  3 Pauli matrisleri olmak üzere, { − 1  − 2  − 3 } matrislerinin gerdi˘ gi
uzayın da, reel kuaterniyonlar kümesine izomorf oldu˘ gunu gösteriniz.
Yanıt : 1 ↔  i ↔− 1 j ↔− 2 k ↔− 3.

Pauli Matrislerin Özellikleri

7.7 Teorem Her  ∈ SU (2) matrisi  1  2  3 Pauli matrisleri cinsinden ifade
edilebilir.

Teorem 7.4’de
∙ ¸
3
 : S → SU (2)  q →  (q)=  1 +  2  3 +  4 ∈ SU (2)
− 3 +  4  1 −  2
dönü¸sümünün grup izomorfizması oldu˘ gunu görmü¸stük. Buradan,
∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸
 1 +  2  3 +  4 10  0 0 1 0 
=  1 +  2 +  3 +  4
− 3 +  4  1 −  2 01 0 − −10  0
=  1  +  2 ( 3 )+  3 ( 2 )+  4 ( 1 )
yazılabilir.

7.2 Alıştırma  1  2  3 Pauli matrislerinin exponensiyellerinin sırasıyla;
∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸
cosh 1 sinh 1 cosh 1 − sinh 1  0
  1 =    2 =    3 = −1
sinh 1 cosh 1  sinh 1 cosh 1 0 
oldu˘ gunu gösteriniz.