Page 109 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

108 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

2. Birebirlik :
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
 1 − 2 − 3 − 4  1 − 2 − 3 − 4
⎢  2  1 − 4  3 ⎥ ⎢  2  1 − 4  3 ⎥
 (p)=  (q) ⇔ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⇔ p = q
⎣  3  4  1 − 2 ⎦ ⎣  3  4  1 − 2 ⎦
 4 − 3  2  1  4 − 3  2  1
oldu˘ gundan,  birebirdir.
3. Örtenlik : Her  p ∈ M  için bir p ∈ H oldu˘ gundan örten oldu˘ gu açıktır.
Sonuç olarak,  halka i¸slemlerini koruyan birebir ve örten bir fonksiyon oldu˘ gundan bir halka
izomorfizmidir.

Sonuç 7.1 M  = H olması her kuaterniyonun 4×4 türünden bir reel matrisle temsil edilme­
∼
sine olanak sa˘glar.

¨ ¥
7.1 F Özel Üniter Grup (Special Unitary Group) F
§ ¦
Determinantı 1 olan üniter kompleks matrislerin kümesi,  ile  matrisinin e¸slenik trans­
∗
pozesi gösterilmek üzere,
∗ ∗
SU ()= { ∈ M × (C):   =  =  det  =1}
ile ifade edilir. Bu küme matrislerdeki çarpma i¸slemine göre bir gruptur ve ismini Special
(özel) Unitary (üniter) grup tanımından almı¸stır. SU () kümesinin elemanlarına uniter mat­
ris denir.

Örnek 7.1
Örne˘ gin,

∙ ¸
1 1+ i −1+ i
 = ∈ SU (2)
2 1+ i 1 − i
matrisi bir özel uniter matristir.
∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸
1 1+ i −1+ i 1 − i 1 − i 10
∗
∗
 =   = =
4 1+ i 1 − i −1 − i 1+ i 01
oldu˘ gu kolayca görülebilir.

Kuaterniyonların Kompleks Matris Temsili

7.4 Teorem S birim kuaterniyonlar kümesiyle, SU (2) kümesi birbirine izomorftur.
3
Yani, S ve SU (2) grupları arasında bir grup izomorfizması tanımlıdır.
3