Page 108 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar Kümesinin Cebirsel Özellikleri 107

3
iv. Ters eleman : Her q ∈ S için,
q
q −1 = = q ∈ S 3
2
kqk
elemanı vardır. O halde, S kümesi kuaterniyon çarpımına göre bir gruptur.
3

Reel kuaterniyonların Reel Matris Temsilleri

7.3 Teorem Reel kuaterniyonların sol çarpım matrislerinin kümesi
⎧ ⎡ ⎤ ⎫
 1 − 2 − 3 − 4
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎨ ⎬
⎢  2  1 − 4  3 ⎥
M  =  p = ⎢ ⎥ :   ∈ R ⊂ M 4×4 (R)
⎣  3  4  1 − 2 ⎦
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎭
 4 − 3  2  1
ile gösterilmek üzere, (M   + ·) kümesi bir halkadır. Bu halka, (H,+ ·) reel kuaterniy­
onlar halkasıyla izomorftur.
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
(M   + ·) kümesinin halka oldu˘ gu kolayca görülebilir.
 : H → M  
p →  (p)=  p
fonksiyonunu tanımlayalım.
˙
1. I¸slemleri Koruma :  (p + q)=  (p)+ (q)  (pq)=  (p)  (q)  oldu˘ gunu görelim.
p =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ve q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k için,
pq =  1  1 −  2  2 −  3  3 −  4  4 +( 1  2 +  2  1 +  3  4 −  4  3 ) i
+( 1  3 +  3  1 −  2  4 +  4  2 ) j +( 1  4 +  2  3 −  3  2 +  1  4 ) k
=  1 +  2 i +  3 j +  4 k
oldu˘ gundan,
⎡ ⎤
 1 − 2 − 3 − 4
⎢  2  1 − 4  3 ⎥
 (pq)=  pq = ⎢ ⎥
⎣  3  4  1 − 2 ⎦
 4 − 3  2  1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
 1 − 2 − 3 − 4  1 − 2 − 3 − 4
⎢  2  1 − 4  3 ⎥ ⎢  2  1 − 4  3 ⎥
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
 3  4  1 − 2  3  4  1 − 2
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 4 − 3  2  1  4 − 3  2  1
=  p  q
=  (p)  (q)
elde edilir.  (p + q)=  (p)+  (q) oldu˘ gu da kolayca görülebilir.