Page 105 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

104 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Kuaterniyonlarla SLERP Dönü¸sümü

6.3 Teorem Birim küre üzerinde verilen  ve  noktaları için,  noktasından 
noktasına, sabit hızla giden bir nesnenin konumunu, 0 ≤  ≤ 1 olmak üzere, kuaterniyon
çarpımı yardımıyla
¡ ¢ 
SLERP (  )=   −1 
e¸sitli˘ giyle verebiliriz.

¨ ¥
F Kanıt 2 F
§ ¦
 bir has birim kuaterniyon oldu˘ gundan, tersi e¸sleni˘ gine e¸sittir.
 × 
= n
k × k
2
diyelim. n = − hn ni + n × n = −1 oldu˘ gu da göz önüne alınırsa, de Moivre formülü de
kullanılarak
¡ −1 ¢  
   =  (−)

=  (h i −  × )

=  (cos  −  × )
µ ¶ 
 × 
=  cos  − k × k
k × k
=  (cos  − n sin ) 
=  (cos  − n sin )
elde edilir. Buradan,
µ ¶
¡ ¢   ×  sin 
  −1  =  cos  − sin  = (cos )  −  ( × )
sin  sin 
olacaktır. Bu e¸sitlikte,
 ( × )= − h  × i +  × ( × )
=  × ( × )
= h i  − h i 
=(cos )  − 
yazılırsa,

¡ −1 ¢  sin 
   = (cos )  − ((cos )  − )
sin 
sin  cos  − cos  sin  sin 
=  + 
sin  sin 
sin  (1 − ) sin 
=  + 
sin  sin 
=  (  )
elde edilir.