Page 116 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 116
Clifford Cebiri ve Kuaterniyonlar 115
¨ ¥
8.7 F Kuadratik Formdan Bilineer Form Elde Etme F
§ ¦
Bir kuadratik formu, bir bilineer form yardımıyla tanımlamak mümkündür. Buna göre,
: V × V → F
bir simetrik bilineer form olmak üzere
(x)= (x x)
¸ seklinde tanımlanan : V → F dönü¸sümü bir bilineer form yardımıyla elde edilen
kuadratik formdur.
Tersine bir kuadratik form verildi˘ ginde, bu kuadratik formu kullanarak bir bilineer form elde
edebiliriz. : V → F bir kuadratik form olmak üzere
1
(x y)= ( (x + y) − (x) − (y))
2
¸ seklinde tanımlanan : V × V → F dönü¸sümü kuadratik formuyla elde edilen bilineer
formdur.
Örnek 8.6
2 2 2
V = R F = R olsun ve x=( 1 2 ) ∈ R y=( 1 2 ) ∈ R olmak üzere (x y)= 1 1 − 2 2
2
2
¸ seklinde tanımlanan bilineer form yardımıyla üretilen kuadratik form (x)= (x x)= − olur.
2
1
Örnek 8.7
3
2
2
V = R F = R olsun ve x=( 1 2 3 ) ∈ R olmak üzere (x)= +2 +3 +2 1 2 ¸seklinde
2
3
3
1
2
3
tanımlanan kuadratik form tarafından üretilen bilineer form, x =( 1 2 3 ) ∈ R
3
y =( 1 2 3 ) ∈ R olmak üzere,
1
(x y)= ( (x + y) − (x) − (y))
2
1 h 2 2 2
= ( 1 + 1 ) +2 ( 2 + 2 ) +3 ( 3 + 3 ) +2 ( 1 + 1 )( 2 + 2 )
2
¡ ¢ ¡ ¢¤
2 2 2 2 2 2
− +2 +3 +2 1 2 − +2 +3 +2 1 2
1
2
1
3
3
2
= 1 1 + 1 2 + 2 1 +2 2 2 +3 3 3
olarak bulunur ve
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
110 1
£ ¤
2 = x y
(x y)= 1 2 3 ⎣ 120 ⎦ ⎣ ⎦
003 3
biçiminde yazılabilir.
¨ ¥
8.8 F Composition Algebra (Hurwitz cebiri) F
§ ¦
Bir F cismi üzerinde birle¸smeli cebir olması gerekmeyen bir kümesi, bir nondejenere
kuadratik formu ile birlikte, her x y ∈ için,
(xy)= (x) (y)
e¸sitli˘ gini sa˘ glıyorsa, kümesine birle¸stirici cebir (composition algebra) denir. Literatür de
Hurwitz cebiri olarak da kullanılmaktadır. Birle¸stirici cebirde, bir x elemanının x e¸sleni˘ gi
tanımlanabilir ve (x)= xx biçiminde tanımlanan, kuadratik form da norm olarak ad
landırılır. Bundan dolayı bu tür cebirlere normlu cebirler de denir.
