Page 120 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Clifford Cebiri ve Kuaterniyonlar 119

Örnek 8.13
¡
¢
(2×2 Matris Cebiri)  02 R , x =( 1  2 ) ∈ R için  (x)=  +  kuadratik formuyla
2
2
2
2
1 2
2 2
donatılmı¸s V = R vektör uzayı tarafından üretilen Clifford cebiridir. R ’nin ortogonal tabanı {e 1  e 2 }
olmak üzere, {1 e 1  e 2  e 1 e 2 } tarafından
2
2
e =  (e 1 )= 1 e =  (e 2 )= 1 e 1 e 2 + e 2 e 1 =0
1 2
¸ seklinde tanımlanarak üretilir. Birle¸sme özelli˘ gi kullanılarak
2 2 2
(e 1 e 2 ) = e 1 (e 2 e 1 ) e 2 = e 1 (−e 1 e 2 ) e 2 = −e e = −1
1 2
2
e 1 (e 1 e 2 )= e e 2 = e 2 
1
2
=(−e 2 e 1 ) e 1 = −e 2 e = −e 2 
(e 1 e 2 ) e 1 1
2
e 2 (e 1 e 2 )= e 2 (−e 2 e 1 )= −e e 1 = −e 1 
2
2
(e 1 e 2 ) e 2 = e 1 e = e 1
2
¡ 2 ¢
elde edilir. O halde  02 R Clifford cebiri
· 1 e 1 e 2 e 1 e 2
1 1 e 1 e 2 e 1 e 2
e 1 e 1 1 e 1 e 2 e 2
1
e 2 e 2 −e 1 e 2 −e 1
−1
e 1 e 2 e 1 e 2 −e 2 e 1
i¸slem tablosu ile üretilen birle¸smeli cebirdir ve
½ 2 ¾
2
2
¡ 2 ¢ ee = e =1 (e 1 e 2 ) = −1
 20 R =  + e 1 + e 2 + e 1 e 2 :     ∈ R 1 2
2
e 1 e 2 + e 2 e 1 =0
¸ seklinde ifade edilir. Ayrıca
∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸
10 1 0 01 0 1
1 →  e 1 →  e 2 →  e 1 e 2 →
01 0 −1 10 −10
¡ ¢
= M 2×2 (R) ’dur.
e¸sle¸smeleriyle  02 R 2 ∼
Kuaterniyonlar Kümesi ve Clifford Cebiri
8.2 Teorem Kuaterniyonlar kümesi bir Clifford cebiridir ve
¡ ¢
= H.
 20 R 2 ∼
2
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
¡ ¢
2
 20 R 2 2 Clifford cebiri, x =( 1  2 ) ∈ R için
2
 (x)= − −  2 2
1
2
kuadratik formuyla donatılmı¸s V = R vektör uzayı tarafından üretilen Clifford cebiridir. Bu
2
cebir, {e 1  e 2 } kümesi, R uzayının ortogonal tabanı olmak üzere, {1 e 1  e 2  e 1 e 2 } tarafından
2
2
e =  (e 1 )= −1 e =  (e 2 )= −1 e 1 e 2 + e 2 e 1 =0
1
2