Page 124 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Dört Boyutlu Uzayda Dönme 123

Dört Boyutlu Uzayda Basit Dönmede Dönme Açısı

9.1 Teorem R  ∈ SO (4) bir basit dönme matrisi ve  dönme açısı olsun. x ve R (x)
vektörleri arasındaki açı  ise, herhangi x ∈ R vektörü için,
4
cos  =cos 
e¸sitli˘ gi do˘ gru de˘ gildir. Çünkü, x vektörünün sadece dönme düzlemindeki bile¸seni döner.
x vektörünün, normal düzlem bile¸seni x  , dönme düzlemi bile¸seni x  olmak üzere,
x = x  + x  , kx  k =  ve kx  k =  için
¡ ¢
2
2
 −  +  2 cos 
cos  =
2
 (2 cos  − 1)
e¸sitli˘ gi sa˘ glanır.
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
R bir basit dönme matrisi ve  dönme açısı olmak üzere, dönme hareketi herhangi x ∈ R 4
vektörünün normal düzlemindeki bile¸senini de˘ gi¸stirmezken, dönme düzlemindeki bile¸seni ise
 açısı kadar döner. Buna göre, x  ∈ V  ve x  ∈ V  olmak üzere,

x = x  + x 
vektörü için, R (x  )= x  olaca˘ gından,
R (x)= x  + R (x  )
yazılabilir. O halde,

hx   R (x  )i hx   R (x  )i hx   R (x  )i
cos  = = 2 =
kx  kkR (x  )k kx  k  2
e¸sitli˘ gi sa˘ glanır. ¸Simdi de, cos  de˘ gerini bulalım.

hx R (x)i hx  + x   x  + R (x  )i
cos  = =
kxkkR (x)k kxkkR (x)k
hx   x  i + hx   R (x  )i
= 2
kx  + x  k
denilirse,
2
kx  + x  k = hx   x  i +2 hx   R (x  )i + hx   x  i
2
2
=  +2 cos  +  2
oldu˘ gu da göz önüne alınarak,
2
2
 +  cos 
cos  =
2
2
 +2 cos  +  2
e¸sitli˘ ginden,
¡
2
2
 −  +  2 ¢ cos 
cos  =
2
 (2 cos  − 1)
elde edilir.