Page 129 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

128 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

x  bile¸seninin 2 kadar döndürür.
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
4 −10 −8 3 −4
0
1 ⎢ −7 4 0 −4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −5 ⎥
R (x  )= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
9 ⎣ 0 0 9 0 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ 0 ⎦
4 8 0 1 6 2
√
oldu˘ gundan, kx  k = kR (x  )k =3 5 ve
 hx   R (x  )i h(3 0 0 6)  (−4 −5 0 2)i
cos = = =0
2 kx  kkR (x  )k 45
do˘ grululu˘ gu görülür.
g) cos  =27,  =18 ve  =45 oldu˘ gundan,
2
 − ( + )cos  18 − (18 + 45) · 7 
cos  = = µ ¶ =0 ⇒  =
 (2 cos  − 1) 2 2
45 2 · − 1
7
oldu˘ gu görülebilir.

⎡ ⎤
00 −10
⎢ 01 0 0 ⎥
9.1 Alıştırma R  = ⎢ ⎥ ∈ SO (4) dönme matrisinin belirtti˘ gi dönme türünü belir­
⎣ 10 0 0 ⎦
00 0 1
tiniz.
b) Dönme açısını ve V  dönme eksen düzlemini bulunuz.
c) Dönmenin meydana geldi˘ gi V  düzlemini belirleyiniz.
d) x =(4 1 3 2) vektörü, için R (x) vektörünü bulunuz. x ile R (x) arasındaki açı  ve dönme açısı
 ise, cos  =cos  e¸sitli˘ ginin do˘ gru olmadı˘ gını görünüz.
e) x = x  + x  vektörünün, x  ∈ V  ve x  ∈ V  bile¸senlerini bulunuz.

hx   R (x  )i
cos  =
kx  kkR(x  )k
e¸sitli˘ ginin sa˘ glandı˘ gını görünüz.
 
Yanıt : a) Basit dönme, özde˘ gerler 1 2  −2 b)  = 2 c)  düzlemi d) R (x)=(−3 1 4 2) 
cos  =16 e) x = x  + x  =(0 1 0 2) + (4 0 3 0).(Not : Özvektörler :1 ↔ {(0 1 0 0) ; (0 0 0 1)} 
 2 ↔ ( 0 1 0)  −2 ↔ (− 0 1 0))

Örnek 9.2
˙
(Izoklinik Dönmeye Bir Örnek)
⎡ ⎤
1 −1 −1 −1
1 ⎢ 1 1 −1 1 ⎥
R = ⎢ ⎥ ∈ SO (4)
2 1 1 1 −1 ⎦
⎣
1 −1 1 1
dönme matrisinin belirtti˘ gi dönme türünün izoklinik oldu˘ gunu görünüz.
b) Dönme açısını bulunuz.
hx R (x)i
c) x =(4 6 6 2) vektörü, için R (x) vektörünü bulunuz. Dönme açısı  ise, cos  =
kxkkR(x)k
e¸sitli˘ ginin do˘ gru oldu˘ gunu görünüz.
dönme düzlemi belirleyiniz. x =(4 6 6 2)
d) Dönmenin meydana geldi˘ gi iki ortogonal V  1 ve V  2
bile¸senlerini bularak, her iki vektörün de
vektörünün bu düzlemlere göre x  1 ∈ V  1 ve x  2 ∈ V  2
kendi bulundukları düzlemde 3 kadar döndü˘ günü görünüz.