Page 130 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Dört Boyutlu Uzayda Dönme 129

Çözüm : a) R matrisinin karakteristik polinomu :

¡ 2 ¢ 2
 ()=  −  +1
√
1 3
oldu˘ gundan, özde˘ gerleri ±  olur. Yani, özde˘ gerleri  3  −3 bulunur. O halde, bu dönme bir
2 2
izoklinik dönmedir ve iki farklı dönme düzleminden bahsedilebilir.
b) Dönme açısı  = ±3 olur.
c) x =(4 6 6 2) için,
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 −1 −1 −1 4 −5
6
1 ⎢ 1 1 −1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3 ⎥
R (x)= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
2 1 1 1 −1 ⎦ ⎣ 6 ⎦ ⎣ 7 ⎦
⎣
1 −1 1 1 2 3
oldu˘ gundan,
 hx R (x)i 46 1
³ ´
cos ± = = =
3 kxkkR(x)k 4 · 23 2
elde edilir.
d) Dönme düzlemlerini bulalım. R matrisinin özvektörlerinin
⎧⎡ 3 ⎤ ⎡ −3 ⎤⎫ ⎧⎡ 3 ⎤ ⎡ −3 ⎤⎫
⎪  − ⎪ ⎪ −  ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎨ ⎬ ⎨ ⎬


⎢ −3⎥ ⎢  3 ⎥ 3 ⎢ −3 ⎥ ⎢  3 ⎥ −3


⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ↔   ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ↔ 
⎣ 0 ⎦ ⎣ 1 ⎦ ⎣ 1 ⎦ ⎣ 0 ⎦
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
1 0 0 1
oldu˘ gu bulunabilir. Dönme düzlemleri tek türlü belirli de˘ gildir. Sadece ilk iki vektörden yararlanarak
birbirine ortogonal iki dönme düzlem
=Sp {(1 1 0 2) ; (1 −1 0 0)} = {(   ):  +  −  =0} 
V  1
=Sp {(−1 1 2 0) ; (1 1 0 0)} = {(   ):  −  +  =0}
V  2
seçilebilir.
x =(4 6 6 2) = {(1 1 0 2) + 2 (1 −1 0 0)} + {3(−1 1 2 0) + 4 (1 1 0 0)}
için,
oldu˘ gundan, x = x  1 + x  2
=(3 −1 0 2) ve =(1 7 6 0)
x  1 x  2
elde edilir. Buna göre, x  1 =(3 −1 0 2) ∈ V  1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 −1 −1 −1 3 1
2
1 ⎢ 1 1 −1 1 ⎥ ⎢ −1 ⎥ ⎢ ⎥
)= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ 
2 1 1 1 −1 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ 0 ⎦
R (x  1 ∈ V  1
⎣
1 −1 1 1 2 3
için,
ve x  2 =(1 7 6 0) ∈ V  2
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 −1 −1 −1 1 −6
7
1 ⎢ 1 1 −1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥
)= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ 
R (x  1 ∈ V  2
2 1 1 1 −1 ⎦ ⎣ 6 ⎦ ⎣ 7 ⎦
⎣
1 −1 1 1 0 0
oldu˘ gu görülür. Yani, x vektörünün V  1 düzlemindeki x  1 bile¸seni de bu düzlemde 3 kadar, V 2
bile¸seni de bu düzlemde yine 3 kadar döner.
düzlemindeki x  2 ¡ √ √ ¢
Not :  3 özde˘ gerine kar¸sılık gelen özvektörler : u = 1 2 (1 1 0 2) + ( 3 − 3 0 0) = u 1 +u 2
¡ √ √ ¢
ve v = 1 2 (−1 1 2 0) + ( 3 3 0 0) = v 1 + v 2 denilirse, V  1 =Sp {u 1  u 2 } ve
=Sp {v 1  v 2 } olacaktır.
V  2