Page 138 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Dört Boyutlu Uzayda Dönme 137

Kuaterniyonlar ve Dört Boyutlu Basit Dönmeler

9.7 Teorem p =  1 +  2  +  3  +  4  =cos  + n sin  birim kuaterniyonu için,

R p : H→H, q → pqp
dönü¸sümüne kar¸sılık gelen matris,
R p :=  p  p =  p  p
ile belirlidir. R (p) dönme matrisi, R uzayında,
4
u 1 =(0 − 3  2  0) ve u 2 =(0 − 4  0 2 )
vektörleriyle gerilen düzleme dik düzlemde 2 açısı kadar basit dönmeyi ifade eder.

¨ ¥
F Kanıt 2 F
§ ¦
 p ve  p matrisleri 4­boyutlu Öklid uzayında dönme matrisleri olduklarından, yani  p  p ∈
SO (4) oldu˘ gundan,  p  p çarpımı da bir dönme matrisidir. R (p) matrisi,
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
 1 − 2 − 3 − 4  1 − 2 − 3 − 4
⎢  2  1 − 4  3 ⎥ ⎢  2  1  4 − 3 ⎥
R (p)= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣  3  4  1 − 2 ⎦ ⎣  3 − 4  1  2 ⎦
 4 − 3  2  1  4  3 − 2  1
⎡ ⎤
2
2 − 1 −2 1  2 −2 1  3 −2 1  4
1
⎢ 2 1  2 1 − 2 2 −2 2  3 −2 2  4 ⎥
= ⎢ 2 2 ⎥
⎣ 2 1  3 −2 2  3 1 − 2 −2 3  4 ⎦
3
2 1  4 −2 2  4 −2 3  4 1 − 2 2
4
olarak bulunabilir. R (p) matrisinin 1 özde˘ gerine kar¸sılık gelen özvektörleri
⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎫
0 0
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎨ ⎬
⎢ − 3 ⎥ ⎢ − 4 ⎥
u 1 = ⎢ ⎥  u 2 = ⎢ ⎥ ↔ 1
⎣ ⎦ ⎣ 0 ⎦
⎪  2 ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎭
0  2
oldu˘ gundan, R (p) dönme matrisinin dönme düzleminin normal uzayı, u 1 ve u 2 vektörleriyle
gerilen düzlemdir. Yani, R (p) matrisi, dört boyutta, u 1 ve u 2 vektörlerine dik olan düzlemde
bir dönme hareketi belirtir. Di˘ ger iki özvektör ve özde˘ ger ise,
⎤⎫
⎧⎡ q
¢
¡
2
⎪ ± 4 2  − 1 ⎪
⎪
⎪
⎪ 1 1 ⎪
⎨⎢ ⎥⎬ q ¡ ¢
⎢ ⎥ 2 2 2
2 1  2 4  − 1 
1
⎢ ⎥ ↔ 2 − 1 ± 1 1
⎪⎣ 2 1  3 ⎦⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎭
2 1  4
bulunabilir. Buradan, p =cos  + n sin  ise, n =(  ) olmak üzere,
⎧⎡ ⎤⎫
⎪ ± ⎪
⎪ ⎪
⎨ ⎬
⎢  ⎥ 2
⎢ ⎥ ↔  =cos 2 ±  sin 2
⎣  ⎦
⎪ ⎪
⎪ ⎪

⎩ ⎭
olacaktır. Yani, R (p) dönme matrisi 2 açılık bir dönme belirtir.