Page 293 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 293
292 Kuaterniyonlar ve Geometri Mustafa Özdemir
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
−−→
= u vektöründen düzleme çizilen dikmenin aya˘ gı
−−→ −−→
olsun. vektörü, =u vektörünün düzlemin
normali olan N =( ) vektörüne dik izdü¸süm vek
törüdür. Yani,
−−→ hu Ni
= N
hN Ni
−−→ −−→ −−→
olacaktır. Di˘ ger yandan, =2 = −2 oldu˘ gundan,
0
−−→ −−→ −−→ 2 hu Ni
0
= − 2 = u − N
hN Ni
e¸sitli˘ gi elde edilir. Buradan, istenen lineer dönü¸süm :
⎡ + + ⎤
− 2
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 2 2 2
+ +
2( + + ) ⎢ + + ⎥
⎥
⎢
⎣ ⎦ = ⎣ ⎦ − 2 2 2 ⎣ ⎦ = ⎢ − 2 2 2 ⎥
+ +
2 ⎥
⎢
+ + ⎣ + + ⎦
− 2
2
2
+ + 2
elde edilir. Bu lineer dönü¸süm matrisi de,
⎡ 2 2 2 ⎤
− + + −2 −2
1
2
2
= ⎣ −2 − + 2 −2 ⎦
2
2
+ + 2 2 2 2
−2 −2 + −
elde edilir.
Örnek 17.1
R uzayında verilen (1 2 3) noktasının, 2 +2 + =0 düzlemine göre simetri˘ gi olan noktayı
3
bulunuz.
Çözüm : 2 +2 + =0 düzlemine göre simetri dönü¸sümü, üstteki teorem yardımıyla
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 1 −8 −4
⎣ ⎦ = ⎣ −8 1 −4 ⎦ ⎣ ⎦
9 −4 −4 7
olarak bulunur. Buna göre,
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 1 −8 −4 1 −3
1
⎣ 2 ⎦ = ⎣ −8 1 −4 ⎦ ⎣ 2 ⎦ = ⎣ −2 ⎦
9
3 −4 −4 7 3 1
elde edilir.
3
17.1 Alıştırma R uzayında verilen (7 2 1) noktasının, +2 −2 =0 düzlemine göre simetri˘ gi
olan noktayı bulunuz.
Yanıt : (5 −2 5) 
