Page 294 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

EK 2 : Öklid Uzayında Yansıma 293

Üç BoyutluÖklid UzayındaOrjindenGeçmeyenDüzleme Göre Yansıma

3
17.2 Teorem R uzayında verilen herhangi bir  (  ) noktasının, R uzayının
3
bir altuzayı olmayan,  +  +  =  düzlemine göre simetri˘ gini veren dönü¸süm,
⎛ ¡ 2 2 2 ¢ ⎞
  +  +  − 2 ( +  +  − )
1 ¡ ¢
2
2
Sim  ( )= ⎝   +  +  2 − 2 ( +  +  − ) ⎠
2
2
 +  +  2 ¡ 2 2 2 ¢
  +  +  − 2 ( +  +  − )
biçiminde tanımlanan lineer olmayan bir dönü¸sümdür. Bu dönü¸sümü,
2 2
Sim  : R ×{1} → R ×{1}
¸ seklinde lineer bir dönü¸süm olarak ifade edebiliriz. Buna göre, dönü¸sümün matrisini
⎡ 2 2 2 ⎤
− + + −2 −2 2
2
2
1 ⎢ −2  −  + 2 −2 2 ⎥
 = ⎢ 2 2 2 ⎥
2
2
 +  +  2 ⎣ −2 −2  + −  2 ⎦
2
2
0 0 0  + + 2
¸ seklinde ifade edebiliriz.
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
 düzlem üzerindeki bir nokta olmak üzere,
−−→
 = u vektöründen düzleme çizilen dikmenin
−−→ −−→
aya˘ gı  olsun.  vektörü, =u vektörünün
düzlemin normali olan N =(  ) vektörüne
dik izdü¸süm vektörüdür. Yani,
−−→ hu Ni
 = N
hN Ni
−−→ −−→ −−→
olacaktır. Di˘ ger yandan,  =2 = −2
0
oldu˘ gundan,
−−→ −−→ hu Ni
0
 =  − 2 N
hN Ni
elde edilir.  ( 0  0  0 ) düzlem üzerinde bir nokta ise, u= ( −  0  −  0  −  0 )
oldu˘ gundan,  0 +  0 +  0 =  oldu˘ gu da kullanılırsa, istenen dönü¸süm bulunabilir.

Örnek 17.2
R uzayında verilen  (4 5 3) noktasının, 2 +2 +  =3 düzlemine göre simetri˘ gi olan noktayı
3
bulunuz.
Çözüm : 2 +2 +  =3 düzlemine göre simetri dönü¸sümü, üstteki teorem yardımıyla
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
4 1 −8 −412 4 −4
⎢ 5 ⎥ 1 ⎢ −8 1 −412 ⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎢ −3 ⎥
 ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
9 6 ⎦ ⎣ 3 ⎦
⎣ 3 ⎦ ⎣ −4 −4 7 ⎣ −1 ⎦
1 0 0 0 9 1 1
0
elde edilir. Yani,  noktasının, 2 +2 +  =3 düzlemine göre simetri˘ gi olan nokta  (−4 −3 −1)
bulunur.