Page 290 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

EK : Üç Boyutlu Dönme Matrislerinin Üretilme Yöntemleri 289

⎡ ⎤
0 0 1

16.8 Alıştırma  = ⎣ 0 0 0 ⎦ ters simetrik matrisinden elde edilen dönme matrisini bulunuz.
−100
 
0 0 −1
Yanıt :  0 1 0  
1 0 0

16.9 Alıştırma u =(tan (2)  0 0) etrafında  açısı kadar dönmeyi ifade eden dönme matrisinin
⎡ ⎤
1 0 0
⎣ 0cos  −sin  ⎦
0 sin  cos 
oldu˘ gunu, Cayley formülü yardımıyla gösteriniz.

4. Yöntem : Euler Dönme Açıları ve Matrisleri

Uzaydaki bir dönmenin, standart eksenler etrafında verilen üç açı yardımıyla döndürülmesiyle
elde edilmesidir. 1748 yılında Leonhard Euler tarafından bulunmu¸stur. Literatürde bu üç açı
genellikle (  ) ile gösterilir.
1. Birinci dönme  ekseni etrafında  açısı kadar dönmedir. (R  ) ,
˙
2. Ikinci dönme  ekseni etrafında  açısı kadar dönmedir. (R  ) ,
3. Üçüncü dönme  ekseni etrafında  açısı kadar dönmedir. (R  ).
Buna göre, üç boyutlu herhangi bir R dönmesi
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
cos  cos  0 1 0 0 cos  0 − sin 



R = sin  − sin  0  R = 0cos  − sin   R = ⎣ 0 1 0 ⎦
⎣
⎦
⎣
⎦



0 0 1 0sin  cos  sin  0 cos 
standart dönme matrisleri yardımıyla
  
R = R R R 


biçiminde ifade edilebilir. Buna göre,
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
cos  sin  0 1 0 0 cos  0 − sin 
R = − sin  cos  0 ⎦ ⎣ 0cos  − sin  ⎦ ⎣ 0 1 0 ⎦
⎣
0 0 1 0sin  cos  sin  0 cos 
⎡ ⎤
cos  cos  − sin  sin  sin  cos  sin  − cos  sin  − cos  sin  sin 
= − cos  sin  − cos  sin  sin  cos  cos  sin  sin  − cos  cos  sin  ⎦
⎣
cos  sin  sin  cos  cos 
olacaktır.