Page 292 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

EK 2 : Öklid Uzayında Yansıma

Yansıma dönü¸sümleri, dönme dönü¸sümleri gibi ortogonal ve izometrik dönü¸sümlerdir. Dü­
zlemde bir do˘ gruya ve bir noktaya göre yansımadan bahsedilebilirken, uzayda bir nokta,bir
do˘ gru ve bir düzleme göre yansımadan bahsedilebilir. Benzer mantıkla,  boyutta,  − 1
boyutlu bir hiperdüzleme göre yansıma olacaktır.

¨ ¥
17.1 F Yansıma Dönü¸sümü ­ Yansıma Matrisi (Reflection) F
§ ¦
Uzayda verilen herhangi bir vektörün, bir düzleme göre simetri˘ gi olan vektöre yansıma veya
simetri vektörü, verilen bir vektörün bu düzleme göre simetri˘ gini veren lineer dönü¸süme de
düzleme göre yansıma dönü¸sümü, bu yansıma dönü¸sümüne kar¸sılık gelen standart matrise
de yansıma matrisi denir. A¸sa˘ gıdaki ¸sekilde,  düzlemine ve  düzleminegöreyansıma
dönü¸sümleri belirtilmi¸stir. Uzayda, R ün altuzayı olan herhangi bir düzleme göre yansıma
3
dönü¸sümü ve matrisini de a¸sa˘ gıdaki teoremde ifade edildi˘ gi gibi bulabiliriz.

3
3
Sim  : R → R 3 Sim  : R → R 3
Sim  (  )=( − ) Sim  (  )=(  −)
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 0 0 10 0
  = ⎣ 0 −10 ⎦   = ⎣ 01 0 ⎦
0 0 1 00 −1

Üç Boyutlu Öklid Uzayında Düzleme Göre Yansıma

3
17.1 Teorem R uzayında bir u =(  ) vektörünün, + + =0 düzlem­
ine göre yansımasını (simetri˘ gini) veren lineer dönü¸sümün matrisi
⎡ 2 2 2 ⎤
− +  +  −2 −2
1
2
2
 = ⎣ −2  −  +  2 −2 ⎦
2
2
 +  +  2 2 2 2
−2 −2  +  − 
biçiminde tanımlanır.