Page 295 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

294 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

E Uzayında Householder Dönü¸sümü


Householder dönü¸sümü, bir do˘ gruya, bir düzleme ya da hiper­düzleme göre yansıma tanım­
layan lineer bir dönü¸sümdür. 1958’de Alston Scott Householder tarafından tanımlanmı¸stır.



u ve v , E de sıfır olmayan, farklı kolon vektörleri olsunlar. u =( 1  2   ) ve v =
( 1  2   ) olmak üzere,

hu vi =  1  1 +  2  2 + ·· · +     = u   v
Öklid iç çarpımına göre,
© ª
⊥
v = w ∈ R ×1 : hw vi =0
kümesi, v vektörüne ortogonal vektörlerin kümesini gösterecektir. u vektörünün v vektörü
üzerine dik izdü¸süm vektörünün

hu vi
 v (u)= v
hv vi
oldu˘ gunu biliyoruz. Bu vektörü v ( ∈ R) ile gösterelim.
v ?
Hu ­rv ­rv u

v
rv

Böylece, ¸sekilden de takip edilirse, bir H dönü¸sümü için

H(u)= u − 2v
dönü¸sümüyle elde edilen vektörün u’nın v hiper­düzlemine göre yansıma vektörü oldu˘ gu
⊥
sonucuna varılır. Bu ¸sekilde elde edilen

hu vi
H(u)= u − 2 v
kvk
dönü¸sümüne Householder dönü¸sümü, bu dönü¸süme kar¸sılık gelen  matrisine de House­
holder matrisi adı verilir. Householder dönü¸sümüyle ilgili detaylı bilgiler Mackey, Gonzales
çalı¸smalarında ve Soylu, D.’nun tez çalı¸smasına bulunabilir.

Householder Matrisi


17.3 Teorem Sıfırdan ve birbirinden farklı u ve v ∈ E için, u vektörünü v hiper­
⊥
düzlemine göre yansımasını veren Householder dönü¸sümüne kar¸sılık gelen Householder
matrisi  olmak üzere
vv 
 =  − 2

v v
ile bulunur (Aragón­González vd. 2009).