Page 296 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

EK 2 : Öklid Uzayında Yansıma 295

Örnek 17.3
R ’de verilen u =(1 2 3) vektörünün 2 +  +  =0 düzlemine göre simetri˘ gi olan vektörü bulmak
3
için, Householder dönü¸sümü uygulanabilir. u vektörünün 2++ =0 düzlemine göre simetri˘ gi olan
vektörün bulunabilmesi için düzleme ortogonal bir vektör bulunması gereklidir; bu vektör v ¸seklinde
isimlendirilirse, v için düzlemin normali seçilebilir. Böylece, v =(2 1 2) olur ve Householder matrisi
de
⎡ ⎤
2
£ ¤
1 212
⎣ ⎦
2vv  2
 =  −  =  − 2 ⎡ ⎤
v v 2
£ ¤
212 ⎣ 1 ⎦
2
¸ seklinde yazılıp gerekli i¸slemler yapıldı˘ gında
⎡ ⎤
1 −4 −8
1
 = ⎣ −4 7 −4 ⎦
9
−8 −4 1
elde edilir ki, ortogonal, simetrik ve dolayısıyla tersi kendisine e¸sit bir matris oldu˘ gu kolayca görülebilir.
Böylece, u vektörünün düzleme göre simetri˘ gi olan vektör de
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 −4 −8 1 −31
1 1
u= ⎣ −4 7 −4 ⎦ ⎣ 2 ⎦ = ⎣ −2 ⎦
9 9
−8 −4 1 3 −13
olarak elde edilir

 
3

17.2 Alıştırma R ’de verilen u =(1 2 3) vektörünün  = = do˘ grusuna göre simetri˘ gi olan
2 2
vektörü Housholder matrisini elde ederek bulunuz.
 
37 −16 20
1
Yanıt : H =  −16 13 40   H (u)= 1 (13 26 17) 
45 9
20 40 −5