Page 289 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

288 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

¨ ¥
16.6 F Cayley Dönü¸sümü (Cayley Map) F
§ ¦
Herhangi bir  ters simetrik matrisi için,  +  matrisi daima tersinir oldu˘ gundan,
−1
R =( − )( + )
matrisi iyi tanımlı, ortogonal bir matristir.
R : so ( R) → SO ( R)
biçiminde tanımlanan R dönü¸sümüne Cayley dönü¸sümü denir.

Örnek 16.17
Düzlemde  açısı kadar dönmeyi ifade eden dönme matrisini Cayley dönü¸sümü yardımıyla bulunuz.

Çözüm : Herhangi bir  açısı için,
∙ ¸
0 tan (2)
 =
− tan (2) 0
ters simetrik matrisinden, Cayley dönü¸sümü yardımıyla elde edebiliriz. Gerçekten de,
−1
R =( − )( + )
∙ ¸ ∙ ¸ −1
1 − tan (2) 1 tan (2)
=
tan (2) 1 − tan (2) 1
∙ ¸ ∙ ¸
1 − tan (2) 1 − tan (2)
2
=cos (2)
tan (2) 1 tan (2) 1
∙ 2 ¸
1 − tan (2) −2tan (2)
2
=cos (2) 2
2tan (2) 1 − tan (2)
∙ ¸
cos  − sin 
=
sin  cos 
bulunur.
Örnek 16.18
Uzayda u =(  ) birim vektörü etrafındaki dönmeyi ifade eden matrisi bulunuz.
Çözüm :  ters simetrik matrisini
⎡ ⎤
0  −
 = − 0  ⎦
⎣
 − 0
olarak alalım.  +  +  =1 oldu˘ gu da göz önüne alınırsa,
2
2
2
R =( − )( + ) −1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ −1
1 −   1  −
= ⎣  1 − ⎦ ⎣ − 1  ⎦
−   1  − 1
⎡ 2 ⎤
 − +   + 
= ⎣  +   2  −  ⎦
− +   +   2
elde edilir.