Page 287 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

286 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

3. Yöntem : Cayley Formülü.

˙
Adını Ingiliz matematikçi Arthur Cayley’den alan Cayley dönü¸sümü, ters simetrik matrisleri
dönme matrislerine dönü¸stüren bir dönü¸sümdür. Herhangi bir  matrisi için,  = − ise

 matrisine ters simetrik matris denildi˘ gini biliyoruz. Cayley formülü yardımıyla, sadece
matris çarpım i¸slemini kullanarak ters simetrik bir matrisden, dönme matrisi elde edebiliriz.
Bu formülü vermeden önce, ters simetrik ve ortogonal matrislerin özellikleriyle ilgili bir kaç
teorem verelim.

A Ters Simetrik Matrisi için, A+I Tersinirdir

16.3 Teorem Herhangi  ters simetrik matrisi için,  +  matrisinin daima tersinir
oldu˘ gunu kanıtlayınız.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Kabuledelimki,  +  tersinir olmasın. Bu durumda, bir u 6=0 vektörü için,
( + ) u =0 ⇒ u = −u
e¸sitli˘ gi sa˘ glanır. Buradan,
    
− hu ui = h−u ui = hu ui =(u) u = u  u = −u u = u u = hu ui
çeli¸skisi elde edilir. O halde, kabulümüz yanlı¸stır ve  +  matrisi tersinirdir.

A Ters Simetrik Matrisinden Matris Çarpımıyla Ortogonal Matris Elde Etme

16.4 Teorem Herhangi  ters simetrik matrisi için,

R =( − )( + ) −1
matrisi ortogonal matristir.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Ortogonal oldu˘ gunu göstermek için, R R =  oldu˘ gunu göstermeliyiz.

¡
¢

R =  +   −1 ¡  −   ¢ =( − ) −1 ( + )
oldu˘ gundan, ( + )( − )=( − )( + ) oldu˘ gu da göz önüne alınırsa,

R R =( − ) −1 ( + )( − )( + ) −1
=( − ) −1 ( − )( + )( + ) −1
= 
elde edilir.