Page 283 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

282 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Örnek 16.10
Reel  ×  tipindeki ortogonal matrislerin kümesi çarpma i¸slemi altında bir grup olu¸sturur ve O () ile
gösterilir.

©  ª
O ( R)=  ∈ M × (R):   = 
biçiminde gösterilir. Bu grup da bir Lie grubudur.

Örnek 16.11
Reel × tipindeki determinantı 1 olan ortogonal matrislerin kümesi, yani dönme matrislerinin kümesi
matrsı çarpımıyla birlikte bir grup olu¸sturur ve bu gruba özel ortogonal grup denir. SO () ile gösterilir.
©  ª
SO ( R)=  ∈ M × (R):   =  det  =1
biçiminde gösterilir. Bu grup da bir Lie grubudur.

¨ ¥
16.2 F Lie Cebiri (Lie Algebra) F
§ ¦
V, F cismi üzerinde vektör uzayı olmak üzere,

[· ·]: V × V → V
dönü¸sümü,
i) 2­lineer
ii) Ters simetrik (Yani, her v w ∈ V için, [v w]= − [w v])
iii) Jakobi özde¸sli˘ gi olarak bilinen, u v w ∈ V için,

[u [v w]] + [w [u v]] + [v [w u]] = 0
ko¸sullarını sa˘ glıyorsa, [· ·] dönü¸sümüne V üstünde bir Lie operatörü denir. Bu operatör, V
vektör uzayında yeni bir çarpma i¸slemi tanımlar. Bu yeni i¸slemle birlikte V uzayı bir cebir
olu¸sturur. Bu cebire Lie Cebiri denir.

Örnek 16.12
˙ Izi 0 olan reel  ×  tipindeki matrislerin vektör uzayı bir Lie cebiridir ve sl ( R) ile gösterilir. Bu
cebire, SL ( R) Lie grubuyla ili¸skili cebir denir. Buna göre,
sl ( R)= { ∈ M × (R):iz =0}
kümesi,   ∈ sl ( R) için
[  ]: sl ( R) × sl ( R) → sl ( R)
(  ) → [  ]=  −  ∈ sl ( R)
biçiminde tanımlanan i¸slemle birlikte bir Lie cebiri olu¸sturur.

Örnek 16.13
Reel  ×  tipindeki ters simetrik matrislerin vektör uzayı da bir Lie cebiridir ve so () ile gösterilir.
Bu cebire, SO ( R) Lie grubuyla ili¸skili cebir de denir. Buna göre,
©  ª
so ()=  ∈ M × (R):  = −
kümesi, [  ]=  −  ikili i¸slemiyle birlikte yine bir Lie cebiridir.