Page 285 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

284 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

¨ ¥
16.5 F Rodrigues Formülü F
§ ¦
so ()  SO () Lie grubundan elde edilen Lie cebiridir. so () kümesi,  ×  tipindeki ters
simetrik matrislerden olu¸sur.
exp : so () → SO ()
biçiminde tanımlanan exponensiyel dönü¸süm, iyi tanımlı ve örten oldu˘ gundan  =3
aldı˘ gımızdaveher  ters simetrik matrisi için, bir dönme matrisi elde edilir. Böylece,  için

açık bir formül verilerek, dönme matrisleri üretilebilir, i¸ste bu formüle Rodrigues formülü
denir.

Rodrigues Formülü

16.2 Teorem  ∈ so (3) bir ters simetrik matris olsun.
exp : so () → SO ()
dönü¸sümü,

R =  =  +(sin )  +(1 − cos )  2
biçiminde ifade edilebilir. Bu formül Rodrigues formülü olarak bilinir.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
 3 × 3 tipinde ters simetrik bir matris ise,
 2  3
  =  +  + + + ···
2! 3!
matrisi bir dönme matrisidir. Buradaki  matrisini en genel halde,
⎡ ⎤
0 −  
 = ⎣  0 − ⎦
−   0
biçiminde seçebiliriz. Yani, üç farklı de˘ gerin pozitif ve negatif de˘ gerleri kullanılır.
u =(  ) diyelim. Yani,  ters simetrik matrisini u vektöründen olu¸sturalım. E˘ ger, u
vektörü birim olursa, bu durumda,  = − olacaktır. Bu durumda,
3
2
3
6
4
5
  2 −  −  2     2

R =  =  +  + + + + + ·· ·
2! 3! 4! 5! 6!
µ ¶ µ ¶
  2   
=  +   − + − ·· · +  − + − ···
3! 5! 2! 4! 6!
µ ¶ µ µ ¶¶
    
=  +   − + − ·· · +  2 1 − 1 − + − + ···
3! 5! 2! 4! 6!
e¸sitli˘ ginde, sin  ve cos  açılımları da göz önüne alınırsa, Rodrigues formulünü

R =  =  +(sin )  +(1 − cos )  2
biçiminde elde edebiliriz. Buradaki u vektörü dönme ekseni ve  açısı da dönme açısıdır.