Page 284 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

EK : Üç Boyutlu Dönme Matrislerinin Üretilme Yöntemleri 283

¨ ¥
16.3 F Lie Grubunun Lie Cebiri F
§ ¦
Her Lie grubu bir cebirle ili¸skilendirilebilir.  bir matris grubu olmak üzere,  grubunun
(manifoldunun)  (birim matris) noktasındaki tanjant uzayına, ’nin Lie cebiri denir ve
© ¯ ª
0
s  ()=  (0) ¯  (0) =  ve  :(− ) →  diferansiyellenebilir
biçiminde ifade edilir. E˘ ger Lie grubu  ( ) ile gösteriliyorsa, bu grupla ili¸skili olan
cebir de, karı¸sıklık olmaması için, harfler fracture fontları kullanılarak g ( ) biçiminde
gösterilir.

¨ ¥
16.4 F Exponensiyel Dönü¸süm F
§ ¦
Exponensiyel dönü¸süm, Lie cebirinden Lie grubuna giden bir dönü¸sümdür.  bir Lie grubu
ve g ise bu grubun Lie cebiri olsun.
exp : g → 
biçiminde tanımlanan bir dönü¸sümdür. Örne˘ gin,
1 1
3

2
exp  =  =  +  +  +  + ···
2! 3!
olmak üzere,
exp : so () → SO ()
ve
exp : sl ( R) → SL ( R)

biçiminde tanımlanır.

Örnek 16.14
exp : gl ( R) → GL ( R) dönü¸sümü iyi tanımlı olsa da, her   matrisinin determinantı pozitif
oldu˘ gu için, exp örten de˘ gildir. Benzer ¸sekilde,
exp : sl ( R) → SL ( R)
örten de˘ gildir. Di˘ ger yandan,
exp : so () → SO ()
dönü¸sümü iyi tanımlı ve örtendir.

16.5 Alıştırma sl (2 R) ve so (2) Lie cebirlerinin birer elemanını yazınız ve bu elemanların expo­
nensiyelini hesaplayarak elde edilen elemanların sırasıyla SL (2 R) ve SO (2) kümelerinin elemanı
oldu˘ gunu gösteriniz.
   −1 
1 0  0

Yanıt :  = ∈ sl (2 R) ve  = 
1 −1 sinh 1 
   
0 −1 cos 1 sin 1

 = ∈ so (2) ve  = ∈ SO (2)
1 0 − sin 1 cos 1