Page 279 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

278 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Bu dönü¸süm, u =(  ) ve n =(  ) için düzenlenirse, Öklidyen dönme matrisi
⎡ 2 ⎤
cos  +  (1 − cos )  (1 − cos ) −  sin  (1 − cos )+  sin 
2
R  =  (1 − cos )+  sin  cos  +  (1 − cos )  (1 − cos ) −  sin  ⎦
⎣
2
 (1 − cos ) −  sin  (1 − cos )+  sin  cos  +  (1 − cos )
bulunur. Bu matrisin determinantı 1 olan bir ortogonal matris oldu˘ gunu görebilirsiniz. Ayrıca,
2
2
2
 +  +  =1
oldu˘ gu kullanılarak, izR  =1 + 2 cos  oldu˘ gu görülebilir.

Örnek 16.1
 +2 +2 =  düzleminde gerçekle¸sen dönmeleri ifade eden dönme matrisini bulunuz.
a)  +2 +2 =0 düzleminde bulunan  (4 −1 −1) noktası 90 döndürülürse hangi nokta elde
◦
edilir?
b)  +2 +2 =9 düzleminde bulunan  (3 2 1) noktası 90 döndürülürse hangi nokta elde edilir?
◦
1
Çözüm : Düzlemin normali dönme eksenidir. Buna göre, n = (1 2 2) alınabilir. Buradan, Teorem
3
16.1 kullanılırsa,  +2 +2 =  düzlemindeki dönme dönü¸sümünün matrisi
⎡ ⎤
9cos  +(1 − cos ) 2 (1 − cos ) − 6sin  2(1 − cos )+6 sin 
1
R  = ⎣ 2(1 − cos )+ 6 sin  9cos  +4 (1 − cos ) 4 (1 − cos ) − 3sin  ⎦
9
2(1 − cos ) − 6sin  4(1 − cos )+ 3 sin  9cos  +4 (1 − cos )
bulunur.
a)  (4 −1 −1) ve  =90 için,
◦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
4 1 −48 4 0
1
R 90 ◦ ⎣ −1 ⎦ = ⎣ 8 4 1 ⎦ ⎣ −1 ⎦ = ⎣ 3 ⎦
9
−1 −4 7 4 −1 −3
−−→
oldu˘ gundan, R  ()= (0 3 −3) elde edilir. Bu noktanın da, düzlem üzerinde oldu˘ gunu ve  vek­
törüyle aynı uzunlukta oldu˘ guna dikkat ediniz.
b)  (3 2 1) ve  =90 için,
◦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
3 1 −48 3 13
1
R 90 ◦ ⎣ 2 ⎦ = 9 ⎣ 8 4 1 ⎦ ⎣ 2 ⎦ = ⎣ 113 ⎦
1 −4 7 4 1 23
bulunur. Bu vektörün  +2 +2 =9 düzleminde oldu˘ gunu görebilirsiniz.

16.1 Alıştırma 2 − 2 −  =3 düzleminde 90 lik dönmeyi ifade eden dönme matrisini bulunuz.
◦
 (5 3 1) noktası 90 döndürülürse hangi nokta elde edilir?
◦
 
4 −1 −8
1
Yanıt : R 90 ◦ =  −7 4 −4   R ()= (1 −3 5) 
9
4 8 1
Örnek 16.2
u =(1 2 1) vektörü,  =  =  do˘ grusu etrafında 90 döndürülürse hangi nokta elde edilir?
◦
6 3 2