Page 275 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

274 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Sonuçlar :
A¸sa˘ gıdaki sonuçlar kolayca görülebilir. Ayrıca, yazarın "Finding n­th Roots of a 2×2 Real Matrix Using
De Moivre’s Formula"çalı¸smasında hibrit sayılar ve 2 × 2 türünden matrisler arasındaki izomorfizmin
uygulamaları verilmi¸stir. Burada kısaca özetlenmi¸stir.
1. Birimlerin Matris Temsili :
1 i ε ve h birimlerinin reel matris temsillleri
∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸
10 0 1 1 −1 01
 (1) =   (i)=   (ε)=   (h)= 
01 −10 1 −1 10
olur. Bu dört matris 2 × 2 matrisleri vektör uzayının bir tabanıdır ve her 2 × 2 türünden matrisi, birim,
dual, kompleks ve hiperbolik sayılar cinsinden yazmak mümkündür.
2. Determinant ve Karakter ve Türlük Sayısı ile ilgili e¸sitlikler :
 matrisi, q hibrit sayısına kar¸sılık gelen 2 × 2 türünden reel matris olsun. Bu durumda a¸sa˘ gıdaki
e¸sitlikler sa˘ glanır.
p
i.  = kqk = |det |
¡ iz ¢ 2
ii. 4 (q)= − det 
2
2
iii.  ()=  −(iz)+det  4  =(iz) −4det  =44 (q) de˘ geri,  matrisinin karakteristik
2
polinomudur.
iv. q −1 sayısının tanımlı olması için gerek ve yeter ko¸sul det () 6=0 olmasıdır.
3. 2 × 2 Matrislerin Sınıflandırılması :
Her 2 × 2 türünden reel matrisler için, hibrit sayılara benzer sınıflandırmalar verilebilir. Buna göre,
 matrisi, 2 × 2 türünden bir reel matris olsun, bu durumda,  matrisi, determinantın i¸saretine göre
a¸sa˘ gıdaki gibi adlandırılır :
⎧
⎨  spacelike det  0;
 timelike det  0; (15.10)
 lightlike det  =0
⎩
 2 × 2 türünden bir matris ve  1 ile  2  matrisinin özde˘ gerleri olsunlar. Bu durumda, özde˘ gerlerin
türüne göre  matrisi a¸sa˘ gıdaki gibi adlandırılır.
⎧
⎨  eliptik  1  2 karma¸sık sayı ise,
 hiperbolik  1  2 reel sayı ise,
 parabolik  1 =  2 
⎩
Bunun yanında, bu sınıflandırma 4  =(iz) − 4det  olmak üzere, a¸sa˘ gıdakine denktir.
2
⎧
⎨  eliptik 4   0;
 hiperbolik 4   0; (15.11)
 parabolik 4  =0
⎩
Böylece, 2× 2 sınıflandırma a¸sa˘ gıdaki tabloda verilebilir.
 det  0 det  =0 det  0
2
(izA) 4detA Timelike Eliptik ∅ ∅
(izA) =4detA Timelike Parabolik Null Parabolik ∅
2
2
(izA) 4detA Timelike Hiperbolik Null Hiperbolik Spacelike Hiperbolik
4. 2 × 2 Matrisin Normu : 2 × 2 türünden bir reel girdili matrisin normu,  spacelike veya timelike
matris ise, a¸sa˘ gıdaki gibi tanımlanır.  spacelike matris ise,
p
 = kk = |det |
biçiminde,  lightlike matris ise,  = kk = biçiminde tanımlanır.
5. Split Kuaterniyonlar ve Hibrit Sayılar : Hibrit sayılar ve split kuaterniyonların her ikisi de 2 × 2
türünden reel matrislere izomorf olduklarından birbirlerine izomorftur.