Page 278 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

EK : Üç Boyutlu Dönme Matrislerinin Üretilme Yöntemleri 277

1. Vektörler Yardımıyla Dönme Matrisinin Bulunması

Üç Boyutlu Öklid Uzayýnda Dönme Matrisinin Elde Edilmesi

3
16.1 Teorem R uzayında verilen herhangi bir u =(  ) vektörünün, herhangi
bir n =(  ) birim vektörü etrafında  açısı kadar döndürülmesiyle elde edilen vektör,
R (u)= hu ni n +(u − hu ni n)(cos )+ (n × u)(sin )
dönü¸sümü ile bulunur ve bu lineer dönü¸sümün standart matrisi (dönme matrisi)
⎡ 2 ⎤
cos  +  (1 − cos )  (1 − cos ) −  sin  (1 − cos )+  sin 
2
R=  (1 − cos )+  sin  cos  +  (1 − cos )  (1 − cos ) −  sin  ⎦
⎣
2
 (1 − cos ) −  sin  (1 − cos )+  sin  cos  +  (1 − cos )
¸ seklindedir. Ayrıca, dönme açısı  için, 1+2 cos  =izR e¸sitli˘ gi sa˘ glanır.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦

w vektörü, u vektörünün n birim vektörü üzerine dik izdü¸süm vektörüdür. Buna göre,

− → hu ni
w = n = hu ni n
hn ni
yazılabilir. Buna göre,

x = u − w = u − hu ni n
yazılabilir. Ayrıca, y vektörü, hem n hem de u vektörüne dik oldu˘ gundan, y = n × u
yazılabilir. x vektörünün saat yönünün tersine  açısı kadar döndürüldü˘ günde elde edilen
vektör R (x) olsun.

R  (x)=(cos ) x +(sin ) y
¸ seklinde yazılabilece˘ ginden,
R  (x)=(cos )(u − hu ni n)+(sin )(n × x)
elde edilir. Di˘ ger yandan, R  (x)= R (u) − w oldu˘ gundan,
R  (u)= w + (cos )(u − hu ni n)+(sin )(n × u)
R  (u)= hu ni n +(u − hu ni n) (cos )+(n × u)(sin )
elde edilir. Bu formüle Euler­Rodrigues formülü denir. R  (u) lineer bir dönü¸sümdür.