Page 281 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

280 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Çözüm : Do˘ grunun do˘ grultmanı, (1 2 2) vektörü
oldu˘ gundan, dönme ekseni n =(1 2 2) alınabilir. Buna
göre, n =(1 2 2) ekseni etrafındaki, 90 ’lik dönme ma­
◦
trisi,
⎡ ⎤
1 −48
1
R 45 = ⎣ 8 4 1 ⎦
◦
9
−4 7 4
olacaktır. Dönme do˘ grusu orjinden geçmedi˘ gi için, u vek­
törü olarak,  do˘ gru üzerindeki herhangi bir nokta olmak
−−→
üzere, u =  vektörü alınabilir. Bu durumda, dönme
−−−−−→
sonucunda elde edilen vektör R 45 ◦(u)=() vektörüdür. Buna göre,  (1 0 2) için, u =  −  =
(3 5 1) olur. Böylece,
⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
3 1 −48 3 −1
1
R 45 ◦ (u)= R 45 ◦ ⎝ 5 ⎠ = ⎣ 8 4 1 ⎦ ⎝ 5 ⎠ = ⎝ 5 ⎠
9
1 −4 7 4 1 3
−−−−−→
elde edilir. ()= (−1 5 3) ise,
R ()= (1 0 2) + (−1 5 3) = (0 5 5)
bulunur.
−−−−→
R()= R() −  =(0 5 5) − (4 5 3) = (−4 0 2) vektörünün, do˘ grunun do˘ grultmanına dik
oldu˘ gunu ve  =(4 5 3) ve R() noktalarının do˘ gruya e¸sit uzaklıkta oldu˘ gunu görebilirsiniz. Bu
uzaklık yarıçaptır ve  ve R() noktalarının do˘ gru üzerindeki en yakın oldukları noktalar aynı noktadır
ki, bu nokta da dönme çemberinin merkezidir. Dönme çemberinin merkezi dik izdü¸süm vektöründen,
hu ni h(3 5 1)  (1 2 2)i 2
 =  + n =(1 0 2) + (1 2 2) = (4 5 8)
hn ni (1 2 2)  (1 2 2) 3
¸ seklinde bulunabilir. Yine yarıçapın,
° ° ° °
° 2 ° ° 2 ° √
(4 5 3) − (4 5 8) = (0 5 5) − (4 5 8) = 10
° ° ° °
° 3 ° ° 3 °
oldu˘ gunu da do˘ grulayabilirsiniz. Çeyrek çemberin alanı da, 104=52 bulunur.

16.4 Alıştırma  (7 3 4) noktası,  − 1 =  − 1  =1 do˘ grusu etrafında 90 döndürülürse hangi
◦
3 4
nokta elde edilir?
Yanıt : (3 4 7) 