Page 267 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

266 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

˙
˙
Genelle¸stirilmi¸s Kuaterniyonla Ili¸skili Genelle¸stirilmi¸s Iç Çarpım ve Vektörel Çarpım
Reel kuaterniyonların Öklidyen iç ve vektörel çarpımla, split kuaterniyonların ise Lorentziyen
skaler ve vektörel çarpımla ili¸skilendirildi˘ gini görmü¸stük. Genelle¸stirilmi¸s kuaterniyonlar
kümesi de, genelle¸stirilmi¸s iç ve vektörel çarpım denilen a¸sa˘ gıdaki iç çarpımla ve vektörel
çarpımla ili¸skilendirilir. Buna göre, u =  1 i +  2 j +  3 k ve vv 1 i + v 2 j + v 3 k olmak üzere,
⎡ ⎤
 0 0

 (u v)=  1 v 1 +  2 v 2 +  3 v 3 = u  ⎣ 0  0 ⎦ v = u v
0 0 
fonksiyonuna genelle¸stirilmi¸s iç çarpım,
¯ ¯
¯ i j k ¯
¯ ¯
¯
u ×  v =  1  2  3 ¯
¯ ¯
¯ v 1 v 2 v 3 ¯
fonksiyonuna da genelle¸stirilmi¸svektörelçarpım denir.  1 =  2 =  3 =1 alınırsa, standart
Öklid iç çarpım ve vektörel çarpım elde edilir.

Buna göre, p =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ve q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k için, pq çarpımı
pq =  p  q −  (v   v  )+  p v  +  q v  + v  ×  v 
biçiminde tanımlanabilir. Ayrıca, matrisler yardımıyla
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
 1 − 2 − 3 − 4  1
⎢  2  1 − 4  3 ⎥ ⎢  2 ⎥
pq =  p (q)= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣  3  4  1 − 2 ⎦ ⎣  3 ⎦
 4 − 3  2  1  4
¡ ¢ 2 4
2
2
2
yazılabilir. Burada, det  p =  +  +  +  2 = kpk oldu˘ gu kolayca görülebilir.
1 2 3 4
¨ ¥
15.23 F Genelle¸stirilmi¸s Kuaterniyonun Kutupsal Formu F
§ ¦
Her q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k =  q + v  ∈ GH genelle¸stirilmi¸s kuaterniyonu
p
2
2
 1  +  +  2
2
3
4
cos  = ve sin  =
kqk kqk
olmak üzere, q = kqk (cos  + n sin ) formunda yazılabilir. Burada,
 2 i +  3 j +  4 k
n = p 2 2 2
 +  +  4
3
2
vektörü, yukarıda verilen  genelle¸stirilmi¸s iç çarpımına göre bir birim vektördür. Bu vek­
2
törün genelle¸stirilmi¸s kuaterniyon çarpımına göre karesi de −1’dir : n = −1. n vektörüne
de kuaterniyonlarda oldu˘ gu gibi dönme ekseni denir.

15.29 Alıştırma q = kqk (cos  + n sin ) genelle¸stirilmi¸s kuaterniyonu için de Moivre formülünü

kanıtlayınız.  ∈ Z için, q  = kqk  n = kqk (cos  + n sin ) oldu˘ gunu görünüz.

15.30 Alıştırma  pq =  p  q e¸sitli˘ ginin sa˘ glandı˘ gını gösteriniz.

15.31 Alıştırma  p matrisinin özde˘ gerlerinin  1 ±  kv  k oldu˘ gunu görünüz.