Page 262 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Farklı Kuaterniyon Türleri 261

Yarı Dejenere Kuaterniyonlar (Degenerate Pseudo Quaternions)

Bu kuaterniyon türü de, yine Rus matematikçi, I.M. Yaglom tarafından 1963 yılında tanımlan­
mı¸stır. Yarı dejenere kuaterniyonların, dejenere olmayan kısmı ise bir perpleks (hiperbolik)
sayı gibi davranır. Bu kuaterniyonlara yarı split kuaterniyonlar (split semi quaternions) da
denir. A¸sa˘ gıda, bu kuaterniyonlarla ilgili kısa bilgi verilmi¸stir.
¨ ¥
15.18 F Yarı Dejenere Kuaterniyon (Degenere Pseudo Quaternions) F
§ ¦
 1  2  3  4 reel sayılar olmak üzere, q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k formunda yazılan ve

2
2
2
i =1 j = k = jk = kj =0 ij = −ji = k ik = −ki = j, (15.5)
temel e¸sitliklerini sa˘ glayan sayılara dejenere yarı kuaterniyon denir. Dejenere yarı kuater­
niyonlar kümesi H YD ile gösterilir.  3 j +  4 k kısmına kuaterniyonun dejenere kısmı denir.
Bir q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k =  q + v  dejenere yarı kuaterniyonunun e¸sleni˘ gi
q =  q − v  =  1 −  2 i −  3 j −  4 k
biçiminde tanımlanır ve q’nun normu
q
p p ¯ ¯
 − 
kqk = qq = qq = ¯ 2 2¯
1 2
ile belirlidir. Ayrıca, kqk 6=0 için, q’nun tersi
q
q −1 =
2
kqk
biçiminde tanımlanır.
Dejenere yarı kuaterniyonların çarpımı a¸sa˘ gıdaki çarpım tablosuna göre yapılır. Dejenere yarı
kuaterniyonlarda de˘ gi¸sme özelli˘ gi yoktur, fakat birle¸sme özelli˘ gi vardır.
1 i j k
·
1 1 i j k
i i 1 k j
j j −k 0 0
k k −j 0 0
Bu çarpıma göre, sol ve sa˘ g çarpım matrislerini
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
 1  2 0 0  1  2 0 0
⎢  2  1 0 0 ⎥ ⎢  2  1 0 0 ⎥
 p =det ⎢ ⎥ ve  p =det ⎢ ⎥
⎣  3 − 4  1  2 ⎦ ⎣  3  4  1 − 2 ⎦
 4 − 3  2  1  4  3 − 2  1
¡ ¢ 2
2
biçiminde yazabiliriz. Ayrıca, det  p =det  p =  −  2 2 ve det  p oldu˘ gu kolayca
1
görülebilir.

15.19 Alıştırma H PY dejenere yarı kuaterniyonlar kümesinde hangi elemanların tersi yoktur.

15.20 Alıştırma  pq =  p  q e¸sitli˘ ginin sa˘ glandı˘ gını gösteriniz.

15.21 Alıştırma  p sol çarpım matrisinin özde˘ gerlerinin  1 ±  2 oldu˘ gunu görünüz.