Page 257 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

256 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

¨ ¥
15.13 F Hiperboloidik Split Kuaterniyonun E¸sleni˘gi, Normu, Tersi F
§ ¦
hiperboloidik split kuaterniyonunun e¸sleni˘ gi, normu
b
q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ∈ H  1 2 3
ve tersi
2
2
2
J q =  +  1  −  2  −  3  2 4
1
2
3
olmak üzere, sırasıyla
q =  1 −  2 i −  3 j −  4 k
q q
¯ ¯
 +  1  −  2  −  3  
kqk = |J q | = ¯ 2 2 2 2¯
1 2 3 4
q
−1
q =
J q
biçiminde tanımlanır. Ayrıca, q hiperboloidik split kuaterniyonuna, J q  0 J q  0 veya
J q =0 olmasına göre, sırasıyla spacelike, timelike veya lightlike denir. Split kuaterniyon­
larda oldu˘ gu gibi, timelike split hiperboloidik kuaterniyonlar kümesi de bir gruptur ve bu
grupla hiperboloid üzerindeki dönme hareketleri grubu özde¸sle¸stirilebilir.

Spacelike Hiperboloidik Split Kuaterniyonların Kutupsal Gösterimi

15.13 Teorem Her q =  1 + 2 i+ 3 j+ 4 k spacelike hiperboloidik split kuaterniyon
2
2
(J q =  +  1  −  2  −  3   0),
2
2
4
2
1
3
p
2
2
 1 − 1  +  2  +  3  2 4  2 i +  3 j +  4 k
2
3
sinh  =  cosh  = ve n = p
2
2
kqk kqk − 1  +  2  +  3  4 2
2
3
olmak üzere,
q = kqk (sinh  + n cosh )
formunda yazılabilir.
Timelike Hiperboloidik Split Kuaterniyonların Kutupsal Gösterimi
15.14 Teorem Her q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k spacelike vektörel kısımlı timelike
2
2
2
2
hiperboloidik split kuaterniyon (J q =  +  1  −  2  −  3   0),
3
1
4
2
p
2
2
 1 − 1  +  2  +  3  2  2 i +  3 j +  4 k
cosh  =  sinh  = 2 3 4 ve n = p
2
2
kqk kqk − 1  +  2  +  3  4 2
2
3
olmak üzere,
q = kqk (cos  + n sin )
formunda yazılabilir.