Page 255 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

254 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Hiperboloidik (Hyperboloidic) Split Kuaterniyonlar

Split kuaterniyonlar yardımıyla üç boyutlu Lorentz uzayında dönmelerin incelenebildi˘ gini
2
2
2
2
2
2
gördük. Bu dönmeler birim hiperboloidler, yani  + − =1 tek kanatlı ve  − − =1
çift kanatlı hiperboloidler üzerindeki dönmelerdir. Reel kuaterniyonları, eliptik kuaterniyon­
lara genelle¸stirip, herhangi elipsoid üzerindeki dönmeleri inceleyebildi˘ gimiz gibi, split kuater­
niyonlarda küçük bir genelle¸stirme yaparak, birim hiperboloidler yerine, herhangi bir hiper­
boloid üzerindeki dönme hareketlerini incelemek mümkündür. Bunun için, verilen hiper­
boloidi küre kabul eden metri˘ ge uygun olarak, skaler çarpım ve vektörel çarpım kullanılmalıdır
ki, bu skaler ve vektörel çarpım genelle¸stirilmi¸s Lorentziyen anlamda skaler ve vektörel çarpım
olacaktır. Buna göre, her hiperboloide uygun bir split kuaterniyon tanımlanmalıdır. Bu split
kuaterniyona genelle¸stirilmi¸s split kuaterniyon veya hiperboloidik split kuaterniyon adını vere­
ce˘ giz. Bu bölümde bu kuaterniyon türü detaya girmeden kısaca tanıtılacaktır. Ayrıntılı bilgi
H.¸Sim¸sek ve M. Özdemir’in "Generating Hyperbolical Rotation Matrix For a Given Hyper­
boloid " isimli çalı¸smasında bulunabilir.

¨ ¥
15.12 F Hiperboloidik Split Kuaterniyon F
§ ¦
3
+
R uzayında,  1  2  3 ∈ R olmak üzere,
2
2
2
H : − 1  +  2  +  3  = ±1
p
hiperboloidini göz önüne alalım ve | 1  2  3 | = 4 ile gösterelim.
© ª
b 2 2 2
H  1 2 3 =  1 +  2 i +  3 j +  4 k :   ∈ R, i = − 1  j =  2  k =  3  ijk = 4
biçiminde tanımlanan, de˘ gi¸smeli olmayan, ama birle¸smeli olan kümeye H hiperboloidine
kar¸sılık gelen hiperboloidik split kuaterniyon kümesi denir. H (H) ile de gösterilir. Bu
b
cebir bir bölüm cebiri de˘ gildir. Hiperboloidik split kuaterniyon çarpım tablosu
1 i j k
1 1 i j k
i i − 1 ∆k 3 −∆j 2
j j −∆k 3  2 −∆i 1
k k ∆j 2 ∆i 1  3
biçiminde ifade edilir. Ayrıca,  1 =  2 =  3 =1 için, standart split kuaterniyonlar elde
edilir.

Hiperboloidi Küre Kabul Eden Genelle¸stirilmi¸s Lorentziyen Skaler ve Vektörel Çarpım
2
Bir H : − 1  + 2  + 3  = ±1 hiperboloidlerini küre kabul eden genelle¸stirilmi¸sLorentz
2
2
skaler çarpımı, u =  1 i +  2 j +  3 k ve vv 1 i + v 2 j + v 3 k olmak üzere,
 L (u v)= − 1  1 v 1 +  2  2 v 2 +  3  3 v 3 
biçiminde, genelle¸stirilmi¸s Lorentziyen vektörel çarpım da
¯ ¯
¯ ¯
−i 1 j 2 k 3
¯ ¯
V (u × v)= ∆ ¯  1  2  3 ¯
¯ ¯
¯ ¯
v 1 v 2 v 3
¸ seklinde tanımlanır. Bu skaler ve vektörel çarpıma hiperboloidal skaler ve vektörel çarpım
da denir. Ayrıca,  1 =  2 =  3 =1 alınırsa, standart Lorentziyen skaler çarpım ve vektörel
3
çarpım elde edilir. R uzayını bu skaler çarpımla birlikte, R 3 ile gösterece˘ giz.
− 1 2 3