Page 250 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Farklı Kuaterniyon Türleri 249

Birim Elipsoidal Kuaterniyona Kar¸sılık Gelen Eliptik Dönme Dönü¸sümü

15.11 elipsoidal
Teorem Her q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k =cos  + n sin  ∈ H  1 2 3
birim kuaterniyonu,
2
2
2
 1  +  2  +  3  =1
elipsoidi üzerinde bir dönme hareketine kar¸sılık gelir. Bu elipsodi küre kabul eden iç
olmak üzere, bu elipsoid üzerindeki bir P noktası için,
çarpım B  1 2 3
R q (P)= qPq −1
iç çarpımına göre dik olan düzlemde yer alan elip­
lineer dönü¸sümü, n eksenine B  1 2 3
soid üzerinde, 2 açısı kadar eliptik dönme belirtir. Bu eliptik dönmeye kar¸sılık gelen
matris
⎡  1  4 ∆  1  3 ∆ ⎤
2
2
2
 + 1  −  2  −  3  2 2 2  2  3 − 2 2 3  2  4 +2
⎢ 1 2 3 4  1  1 ⎥
⎢  1  4 ∆  1  2 ∆ ⎥
⎢ 2 2 2 2 ⎥
3
1
2
R q = ⎢ 2 1  2  3 +2  −  1  + 2  −  3  4 2 3  3  4 − 2 ⎥
⎢  2  2 ⎥
⎣  1  3 ∆  1  2 ∆ ⎦
2
2
2
2 1  2  4 − 2 2 2  3  4 +2  −  1  −  2  + 3  4 2
3
1
2
 3  3
(15.2)
ile belirlidir.
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Kuaterniyonlarda oldu˘ gu gibi, R q dönü¸sümünün normu koruyan bir lineer dönü¸süm oldu˘ gu
3
gösterilebilir. ¸Simdi, R uzayında, B eliptik iç çarpımına göre,
V (n × u)= v V (v × n)= u V (u × v)= n
e¸sitliklerini sa˘ glayacak ¸sekilde bir ortonormal {n u v} kümesi alalım.  noktasına kar¸sılık
−−→
gelen  vektörünü x ile gösterelim. x vektörü, n ve u vektörlerinin bulundu˘ gu düzlemde
bir vektör olsun. Bu durumda,
x =(cos ) n +(sin ) u
biçiminde yazılabilir. ¸Simdi,
R q (x)= qxq −1
çarpımını hesaplayalım. Öncelikle, R q dönü¸sümünün n ve u vektörlerini nasıl de˘ gi¸stirdi˘ gini
görelim. v  vektörü ile n vektörü paralel oldu˘ gundan,
qn = nq
e¸sitli˘ gi sa˘ glanacaktır. Buna göre,
R q (n)= qnq −1 = nqq −1 = n
olur. Bu, R q dönü¸sümünün n vektörünü de˘ gi¸stirmedi˘ gini gösterir. Yani, n dönme eksenidir.