Page 248 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Farklı Kuaterniyon Türleri 247

15.14 Alıştırma E :9 +9 +2 =18 elipsoidine kar¸sılık gelen elipsoidal kuaterniyon kümesini
2
2
2
tanımlayınız. Bu kümedeki p =1 + 2i +3j +4k ve q =2 + 4i + j +3k elipsoidal kuaterniyonların
çarpımını hesaplayınız.
 
Yanıt : H 121219 =  1 +  2i +  3j +  4k : i = j = −12 k = −19 ijk = − 16 ve
2
2
2
pq = −4+ 7i +13j +18k.
¨ ¥
15.11 F Elipsoidal Kuaterniyonun E¸sleni˘gi, Normu,Tersi,KutupsalFormu F
§ ¦
elipsoidal kuaterniyonunun e¸sleni˘ gi, normu ve tersi
q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ∈ H  1 2 3
sırasıyla,
q =  1 −  2 i −  3 j −  4 k
q
p p
2
2
2
2
kqk = qq = qq =  +  1  +  2  +  3  
1 2 3 4
q
−1
q = 2 
kqk
biçiminde tanımlanır. Ayrıca, her elipsoidal kuaterniyon q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k
p 2 2 2
 1  1  +  2  +  3  4
2
3
cos  = ve sin  =
kk kk
olmak üzere,
q = kk (cos  + n sin )
formunda yazılabilir. Burada,
( 2  3  4 )
n = p 2 2 2
 1  +  2  +  3  4
3
2
vektörü, B eliptik iç çarpımına sahip R uzayında, bir birim vektördür. Bu vektörün elip­
3
soidal kuaterniyon çarpımına göre karesi de −1’dir : n = −1. n vektörüne de kuaterniyon­
2
larda oldu˘ gu gibi eliptik dönme ekseni denir.
Örnek 15.9
q =1 + 2i + j +5k ∈ H 221 elipsoidal kuaterniyonu için,
p
2
2
2
2
kqk = 1 +2 · 2 +2 · 1 +1 · 5 =6
olarak bulunur. Ayrıca, q’nun tersi
q 1
−1
q = = (1 − 2i − j − 5k)
2
kqk 36
olur. q’nun kutupsal formu ise,
√
1 35 (2 1 5) (2 1 5)
q = + √ =cos  + √ sin 
6 6 35 35
biçimindedir.
1
n = √ (2 1 5)
35
3
vektörü, R uzayında, B 221 (u v)=2 1 v 1 +2 2 v 2 +  3 v 3 iç çarpımına göre, bir birim vektördür.