Page 251 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

250 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Dönme hareketi n vektörüne dik düzlemde olu¸smaktadır. Di˘ ger taraftan,
R q (u)= quq −1
= (cos  + n sin ) u (cos  − n sin )
2
2
= u cos  − cos  sin  (un)+ cos  sin  (nu) − (nu) n sin 
olur ki, bu e¸sitlikte, u ⊥ B n oldu˘ gu da göz önüne alınırsa,
un = −B (u n)+ V (u × n)= −V (n × u)= −nu = −v
yazılabilir. Böylece,
2
2
R q (u)= u cos  +(un) n sin  +2v cos  sin 
2
2
2
= u cos  + un sin  +2v cos  sin 
= u cos 2 + v sin 2
elde edilir. Yani, x = n cos  + u sin  için,
R q (x)= q (n cos  + u sin ) q −1
= qnq −1 cos  + quq −1 sin 
= n cos  +(u cos 2 + v sin 2)sin 
olur. Bu x vektörünün, n vektörü etrafında 2 açısı kadar dönmesi demektir.
¸ Simdi de, R q lineer dönü¸sümüne kar¸sılık gelen dönme matrisini bulalım.
Bunun için, q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k olmak üzere, R q (x)= qxq −1 e¸sitli˘ ginden,
µ ¶ µ ¶
¡ ¢  1  4 ∆  1  3 ∆
2
2
2
2
R q (i)=  1  +  −  2 −  3 i +2  1  2  3 + j+2  2  4  1 − k
2
4
3
1
 2  3
µ ¶ µ ¶
 1  4 ∆ ¡ 2 2 2 2 ¢  1  2 ∆
R q (j)=2  2  2  3 − i+  2  +  −  1 −  3 j+2  2  3  4 + k
4
1
2
3
 1  3
µ ¶ µ ¶
 1  3 ∆  1  2 ∆ ¡ ¢
2
2
2
2
R q (k)=2  3  2  4 + i+2  3  3  4 − j+  3  +  −  1 −  2 k
2
1
4
3
 1  2
oldu˘ gu kolayca görülebilir. O halde, dönme matrisi, (15.2) olarak bulunur. Bu matris,
⎡ ⎤
 1 0 0
Ω = ⎣ 0  2 0 ⎦
0 0  3
olmak üzere,

det R q =1 ve R ΩR q = Ω
q
e¸sitliklerini sa˘ glayan bir matristir. Yani, B iç çarpım uzayında bir dönme matrisidir.
© ª

(3) =  ∈ M 3×3 (R):det  =1 ve  Ω = Ω
R q ∈ SO  1 2 3
yazılabilir.  1 =  2 =  3 =1 alınması durumunda, kuaterniyonlar için verilen standart
küresel dönme matrisi elde edilir.