Page 246 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 246
Farklı Kuaterniyon Türleri 245
Elipsoidal (Ellipsoidal) Kuaterniyonlar
Reel kuaterniyonlar yardımıyla üç boyutlu uzayda dönmelerin incelenebildi˘ gini gördük. Bu
dönmeler küresel dönmelerdir. Reel kuaterniyonlarda küçük bir genelle¸stirme yardımıyla
küre yerine, elipsoid üzerindeki dönme hareketlerini incelemek mümkündür. Bunun için,
verilen elipsoidi küre kabul eden metri˘ ge uygun olarak, iç çarpım ve vektörel çarpım tanım
lanmalıdır. Her elipsoid için buna uygun bir kuaterniyon tanımlanabilir. Bu kuaterniyona
elipsoidal kuaterniyon adını verece˘ giz. Reel kuaterniyonlar, elipsoidal kuaterniyonların özel
bir durumudur. Eliptik dönme hareketleri ve elipsoidal kuaterniyonlar hakkında ayrıntılı bilgi
yazarın "An Alternative Approach to Ellliptical Motion (2015)" isimli çalı¸smasında bulunabilir.
¨ ¥
15.10 F Elipsoidal Kuaterniyon F
§ ¦
R uzayında, 1 2 3 ∈ R olmak üzere,
3
+
2
2
2
E : 1 + 2 + 3 =1
elipsoidini göz önüne alalım ve √ 1 2 3 = 4 ile gösterelim.
© ª
2
2
2
= 1 + 2 i + 3 j + 4 k : ∈ R, i = − 1 j = − 2 k = − 3 ijk = −∆
H 1 2 3
biçiminde tanımlanan, de˘ gi¸smeli olmayan, ama birle¸smeli olan kümeye E elipsoidine
kar¸sılık gelen elipsoidal kuaterniyon kümesi denir. H (E) ile de gösterilir. 1 = 2 =
3 =1 için, reel kuaterniyonlar kümesi elde edilir. Reel ve vektörel kısım kuaterniyonlarda
oldu˘ gu ¸sekilde tanımlanır.
∆ ∆ ∆
ij = k = −ji jk = i = −kj ki = j = −ik
3 1 2
oldu˘ gu bulunabilir. Buna göre, elipsoidal kuaterniyon çarpımın tablosu
· 1 i j k
1 1 i j k
i i − 1 ∆k 3 −∆j 2
j j −∆k 3 − 2 ∆i 1
k k ∆j 2 −∆i 1 − 3
olacaktır.
˙
Bir Elipsoidi Küre Kabul Eden Eliptik Iç Çarpım ve Vektörel Çarpım
2
2
2
Bir E : 1 + 2 + 3 =1 elipsoidini küre olarak kabul eden iç çarpım u = 1 i + 2 j +
3 k ve vv 1 i + v 2 j + v 3 k olmak üzere,
B (u v)= 1 1 v 1 + 2 2 v 2 + 3 3 v 3
biçiminde, eliptik vektörel çarpım da
¯ ¯
¯ −i 1 j 2 k 3 ¯
¯ ¯
V (u × v)= ∆ ¯ 1 2 3 ¯
¯ ¯
¯ v 1 v 2 v 3 ¯
¸ seklinde tanımlanır. 1 = 2 = 3 =1 alınırsa, standart Öklid iç çarpım ve vektörel çarpım
elde edilir. (EK3 de genelle¸stirilmi¸s skaler ve vektörel çarpım konusu verilmi¸stir.)
