Page 245 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

244 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Segre Kuaterniyonların Kompleks Matris Gösterimi

15.9 Teorem H S Segre kuaterniyonlar kümesi,

½∙ ¸ ¾
a 1 a 2
M = : a 1  a 2 ∈ C
a 2 a 1
kompleks matris kümesine izomorftur. (Not : Bu matris kümesi de, kompleks de˘ gi¸skenli
perpleks sayılar kümesine izomorftur. Bak. perpleks sayılar).

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k =( 1 +  2 i)+ ( 3 +  4 i) j e¸sitli˘ ginde, a 1 =  1 +  2 i ve
a 2 =  3 +  4 i alınarak q = a 1 + a 2 j biçiminde yazılabilece˘ gini görmü¸stük. Sonuç olarak,
H S Segle kuaterniyonlar kümesi, C kompleks sayılar kümesi üzerinde, tabanı {1 j} olan, 2
boyutlu bir cebirdir. Bu tabana göre, bir Segle kuaterniyonun kompleks matris gösterimini
bulalım.

 q : H S → H S
p →  q (p)= pq
birebir örten lineer dönü¸sümünü tanımlayalım. a 1  a 2 ∈ C olmak üzere,
q = a 1 + a 2 j ∈ H S
Segle kuaterniyonu için,
 q (1) = 1q =1 (a 1 + a 2 j)= a 1 + a 2 j
olacaktır. Di˘ ger yandan, ja = a 1 j oldu˘ gu kullanılarak,
1
 q (j)= jq = j (a 1 + a 2 j)= ja + ja j = a 1 j + a 2
2
1
elde edilir. Buna göre,  q lineer dönü¸sümünün {1 j} tabanına göre matrisi :
∙ ¸
a 1 a 2
∈ M 2×2 (C)
a 2 a 1
bulunur.
¨ ¥
15.9 F Segle Kuaterniyona Kar¸sılık Gelen Matris F
§ ¦
Herhangi bir q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k kuaterniyonunu, a 1 =  1 +  2 i ve a 2 =  3 +  4 i
kompleks sayıları yardımıyla
q = a 1 + a 2 j
biçiminde yazabiliriz. Bu bile¸senler yardımıyla yazılan 2 × 2 türünden
∙ ¸
a 1 a 2
∈ M 2×2 (C)
a 2 a 1
kompleks matrisine q Segle kuaterniyonuna kar¸sılık gelen kompleks matris denir.