Page 243 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

242 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

De˘ gi¸smeli Kuaterniyonlar (Segre Kuaterniyonları)

Kuaterniyonlar de˘ gi¸smeli olmayan bir halkadır. Fakat, kuaterniyon çarpımı de˘ gi¸smeli olacak
˙
¸ sekilde bir kuaterniyon kümesi, 1892 yılında Italyan Matematikçi Corrado Segre tarafından
tanımlanmı¸stır. Segre kuaterniyonları olarak da bilinen bu de˘ gi¸smeli kuaterniyonlar bölüm
cebri de˘ gildir ve sıfır bölenlere sahiptir. Herhangi bir de˘ gi¸smeli kuaterniyon da, reel kuater­
niyonlarda oldu˘ gu gibi iki kompleks sayının toplamı olarak yazılabilir. Bu konuda detaylı bilgi
H.H. Kösal ve M. Tosun’un referans kısmında verilençalı¸smalarında bulunabilir.

¨ ¥
15.7 F De˘gi¸smeli Kuaterniyonlar (Commutative Quaternions) F
§ ¦
Segre kuaterniyon cebiri,
2
2
2
i = k = ijk = −1 j =1
ko¸sullarını ta¸sıyan q =  1 + 2 i+ 3 j+ 4 k (  ∈ R) sayı dörtlülerinin olu¸sturdu˘ gu birle¸simli,
de˘ gi¸smeli olan, fakat bölmeli olmayan bir cebirdir. Bu sayı dörtlülerinin olu¸sturdu˘ gu küme
SH veya H S ile gösterilir. Bu çarpımın de˘ gi¸smeli oldu˘ gunu kolayca görebiliriz. Örne˘ gin,
ij = ji = k oldu˘ gunu görelim.
ijk = −1 ⇒ ij = k ⇒ j = −ik ⇒ 1= −jik ⇒ k = ji
Benzer ¸sekilde, jk = kj = i ve ik = ki = −j oldu˘ gu görülebilir. Buna göre, Segre kuater­
niyon çarpım tablosu a¸sa˘ gıdaki gibi olacaktır.
1
· i j k
1 1 i j k
i i −1 k −j
j j k 1 i
k k −j i −1

15.13 Alıştırma ik = ki = −j oldu˘ gunu gösteriniz.

Segre Kuaterniyonun idempotent Tabana Göre Yazılı¸sı
Herhangi bir q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k Segre kuaterniyonunu alalım.

ve
a =  1 + i 2 b =  3 + i 4
olmak üzere, q = a + jb biçiminde kompleks sayı formunda yazılabilir.
2
2
e 1 =(1 + j) 2 ve e 2 =(1 − j) 2 diyelim. e = e 1  e = e 2  e 1 e 2 =0 oldu˘ gundan,
2
1
{e 1  e 2 } bir idempotent tabandır. Bu tabana göre, bir q =  1 + 2 i+ 3 j+ 4 k kuaterniyonunu
yazabiliriz.
1+ j 1 − j q + + q 2 q + − q 2
q = q + e 1 + q − e 2 = q + + q − = + j = a + jb
2 2 2 2
biçiminde yazalım. Bu e¸sitli˘ ge göre,
q + + q − q + − q −
= a ve = b
2 2
olmalıdır ki, buradan q + = a + b ve q + = a − b elde edilir. Böylece,
q =(a + b) e 1 +(a − b) e 2
yazılabilir. Bu yazılı¸sa, q segre kuaterniyonunun idempotent tabana göre yazılı¸sı veya gös­
terimi denir.