Page 238 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Farklı Kuaterniyon Türleri 237

Hiperbolik Kuaterniyonlar

2
2
2
2
2
Kuaterniyonlar cebirinde i = j = k = −1 olan e¸sitlikler, i = j = k =1 alınarak elde
2
˙
edilen cebire, hiperbolik kuaterniyonlar cebiri denir. Iskoç matematikçi ve fizikçi Alexander
Macfarlane tarafından 1890 yılında tanımlanmı¸stır. Bu cebirin kuaterniyonlardan ayrılan en
önemli özelli˘ gi birle¸sme özelli˘ ginin olmayı¸sıdır. Birle¸sme özelli˘ ginin olmayı¸sından dolayı da,
kuaterniyonlarda sa˘ glanan bir çok özellik sa˘ glanmaz. Çarpma i¸sleminin birle¸sme özelli˘ gini
˙
sa˘ glamadı˘ gı da yine bir Iskoç matematikçi Charles Jasper Joly tarafından farkedilmi¸stir.
¨ ¥
15.4 F Hiperbolik Kuaterniyon (Hyperbolic Quaternion)F
§ ¦
 1  2  3  4 reel sayılar olmak üzere, q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k formunda yazılan ve
i = j = k =1 ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j, (15.1)
2
2
2
temel e¸sitliklerini sa˘ glayan sayılara hiperbolik kuaterniyon denir. Hiperbolik kuaterni­
yonlar kümesi H H ile gösterilir. Bir q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k =  q + v  hiperbolik
kuaterniyonunun e¸sleni˘ gi
q =  q − v  =  1 −  2 i −  3 j −  4 k
biçiminde tanımlanır. Hiperbolik kuaterniyonlar kümesinde çarpma i¸sleminin birle¸sme özel­
li˘ gi yoktur.

Örnek 15.3
Hiperbolik kuaterniyon kümesinin birle¸sme özelli˘ ginin olmadı˘ gını bir örnekle gösteriniz.

Çözüm : (ij) j = kj = −i ve i (jj)= i oldu˘ gundan, (ij) j 6= i (jj) birle¸sme özelli˘ ginin sa˘ glanmadı˘ gı
görülür. Hatta, örnek bu cebirin bir alternatif cebir olmadı˘ gını da gösterir.

Hiperbolik kuaterniyonların çarpımı a¸sa˘ gıdaki çarpım tablosuna göre yapılır. Hiperbolik ku­
aterniyonlarda birle¸sme özelli˘ gi olmadı˘ gından, parantez belirtilmediyse i¸slemler soldan sa˘ ga
do˘ gru, sırasıyla yapılır.

· 1 i j k
1 1 i j k
i i −1 k −j
j j −k −1 i
k k j −i −1
H H hiperbolik kuaterniyonlar kümesinden verilen herhangi iki,
p =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ve q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k
hiperbolik kuaterniyon için,

pq =  1  1 +  2  2 +  3  3 +  4  4 + i ( 1  2 +  1  2 +  3  4 −  3  4 )
+j ( 1  3 +  1  3 +  4  2 −  4  2 )+ k ( 1  4 +  1  4 +  2  3 −  2  3 )
veya h i ve × sırasıyla R uzayında iç çarpım ve vektörel çarpım olmak üzere,
3
pq =  p  q + hv   v  i +  p v  +  q v  + v  × v 
olacaktır.