Page 240 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Farklı Kuaterniyon Türleri 239

e¸sitli˘ gine göre,  pq =  p  q + hv   v  i ∈ R ve v  =  p v  +  q v  + v  × v  oldu˘ gundan,

pq =  p  q + hv   v  i −  p v  −  q v  − v  × v 
=  q  p + h−v   −v  i +  q (−v  )+  p (−v  )+(−v  ) × (−v  )
=( q − v  )( p − v  )
= q p
oldu˘ gu görülür. Benzer dü¸sünceyle,
2
2
qq =( q + v  )( q − v  )=  + hv   −v  i =  + h−v   v  i = qq
q
q
2
2
2
oldu˘ gu açıktır ve q =  1 + 2 i+ 3 j+ 4 k için,  =  ve hv   v  i =  + + oldu˘ gundan,
2
2
1
q
2
3
4
2
2
2
qq =  −  −  −  2 4
2
3
1
elde edilir.
¨ ¥
15.5 F Hiperbolik KuaterniyonlarınSınıflandırılması F
§ ¦
q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k hiperbolik kuaterniyonu için.
2
2
2
J q =: qq = qq =  −  −  −  4 2
3
2
1
¡
¢
4
4
reel de˘ geri sıfır, negatif veya pozitif olabilir. R  − + + + = E 4­boyutlu Minkowski
∼
1
uzayı için, q split kuaterniyonunu 4 boyutlu bir vektör alarak,
2 2 2 2
−J q = − +  +  +  = hq qi E 1 4
1
2
3
4
¸ seklinde ifade edilebilir. Yani, her hiperbolik kuaterniyon E uzayının bir elemanı olarak
4
1
kabul edilebilir. Buna göre, a¸sa˘ gıdaki sınıflandırmayı verebiliriz.
4  0 olaca˘ gından q’ya timelike hiperbolik kuaterniyon
J q  0 ise, hq qi
E 1
4  0 olaca˘ gından q’ya spacelike hiperbolik kuaterniyon
J q  0 ise, hq qi
E 1
J q =0 ise, hq qi 4 =0 olaca˘ gından q’ya lightlike hiperbolik kuaterniyon denir.
E 1
Timelike, spacelike ve lightlike hiperbolik kuaterniyonlar kümeleri sırasıyla, TH H , SH H ,
LH H ile gösterilir.
¨ ¥
15.6 F Hiperbolik Kuaterniyonun Normu F
§ ¦
q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k hiperbolik kuaterniyonu için, q ’nun semi normu :
q q
p ¯ ¯
 −  −  − 
kqk = |J q | = |qq| = ¯ 2 2 2 3 2 4 2¯
1
4
biçiminde tanımlanır. Bu norm, R Minkowski 4 uzayının semi normudur. kqk =1 olan
1
q hiperbolik kuaterniyonuna birimdir denir. Ayrıca, kqk 6=0 için, yani lightlike olmayan
hiperbolik kuaterniyonlar için q’nun tersi
q
q −1 =
J q
¸ seklinde tanımlanır.

15.6 Alıştırma p q ∈ H H için, J pq =J p J q e¸sitli˘ gi sa˘ glanır mı?

15.7 Alıştırma p q ∈ H H için, kpqk = kpkkqk e¸sitli˘ gi do˘ gru mudur?