Page 239 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

238 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Bu e¸sitlikleri matrisler yardımıyla,
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
 1  2  3  4  1
⎢  2  1 − 4  3 ⎥ ⎢  2 ⎥
 p (q)= pq = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣  3  4  1 − 2 ⎦ ⎣  3 ⎦
 4 − 3  2  1  4
biçiminde veya
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
 1  2  3  4  1
⎢  2  1  4 − 3 ⎥ ⎢  2 ⎥
 q (p)= pq = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣  3 − 4  1  2 ⎦ ⎣  3 ⎦
 4  3 − 2  1  4
biçiminde yazabiliriz. Burada,  p (q) ile, q’nun p ile soldan çarpımı,  q (p) ile de p’nin q
ile sa˘ gdan çarpımı ifade edilmi¸stir.  p matrisinin determinantı :
¡ 2 2 2 2 ¢¡ 2 2 2 2 ¢
det  p =  −  −  −  4  +  +  +  4
3
1
2
3
2
1
ile belirlidir.

15.3 Alıştırma  pq =  p  q e¸sitli˘ ginin sa˘ glanmadı˘ gını bir örnekle gösteriniz.

15.4 Alıştırma p  +  +  =  olmak üzere,  p sol çarpım matrisinin özde˘ gerlerinin  1 ± 
2
2
2
4
2
3
ve  1 ±  oldu˘ gunu görünüz.
+1  
15.5 Alıştırma H H kümesinde birle¸sme özelli˘ gi olmasa da, q = q q = qq oldu˘ gunu kanıt­
layınız.

Yanıt : Tümevarımla kolayca kanıtlanabilir. Kabul edelim ki, q = q −1 q = qq −1 do˘ gru olsun. Bu durumda,

her tarafı soldan çarparsak, qq  = qq −1 q = qqq −1  sa˘ gdan çarparsak q q = q −1 qq = qq −1 q elde


edilir. Her ikisi de, qq −1 q hiperbolik kuaterniyonuna e¸sit oldu˘ gundan, q +1 = q q = qq elde edilir.
Hiperbolik Kuaterniyonların E¸sleni˘ ginin Özellikleri

15.4 Teorem A¸sa˘ gıdakiler özellikler sa˘ glanır.
1. (q)= q
2. p + q = p + q
3. pq = q p
2
4. qq = qq =  − hv   v  i 
q
2
2
2
5. q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k için, qq =  +  −  −  olur.
2
4
3
2
1
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
1. ve 2. açıktır. 3., 4. ve 5.’nin do˘ grulu˘ gunu görelim.
pq =    q + hv   v  i +  p v  +  q v  + v  × v 