Page 244 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Farklı Kuaterniyon Türleri 243

Örnek 15.7
q =1 + 3i +4j +2k Segre kuaterniyonunu, kompleks formda ve idempotent tabana göre yazınız.
Çözüm : q =1 + 3i +4j +2k =(1 + 3i)+ j (4 + 2i)= a + jb olur ki, a =1 + 3i ve b =4 + 2i dir.
Buna göre, idempotent tabana göre, q =(5 + 5i) e 1 +(i − 3) e 2 olacaktır.
Segre Kuaterniyonlarda Çarpım Matrisi
p =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ve q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k Segre kuaterniyonları için, pq çarpımı
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
 1 − 2  3 − 4  1
⎢  2  1  4  3 ⎥ ⎢  2 ⎥
 p (q)= pq = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣  3 − 4  1 − 2 ⎦ ⎣  3 ⎦
 4  3  2  1  4
biçiminde ifade edilir. pq = qp oldu˘ gundan,
 p (q)=  q (p)
olacaktır.  p matrisine Segre kuaterniyon çarpım matrisi denir.

¨ ¥
15.8 F Segre Kuaterniyonun E¸sleni˘gi, Normu F
§ ¦
q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ∈ H S segre kuaterniyonunun standart e¸sleni˘ gi, standart normu
sırasıyla,
q =  1 −  2 i −  3 j −  4 k
q
p p
2
2
2
2
kqk = qq = qq =  +  −  +  − 2( 3  4 i −  4  2 j +  2  3 k)
1 2 3 4
biçiminde tanımlanır. Fakat, bu e¸sitlikten de görülür ki, kqk normu bu tanıma göre, bir reel
sayı de˘ gil, yine bir kuaterniyondur. Dolayısıyla, norm tanımına uymaz. Segre kuaterniyonlar
için bunun yerine, üç farklı e¸slenik tanımı kullanılarak, farklı bir norm tanımlanmı¸stır.
q  = q =  1 −  2 i +  3 j −  4 k
q  = e q =  1 +  2 i −  3 j −  4 k
q  = q =  1 −  2 i −  3 j +  4 k
e
q  gösterimiyle, e¸slenik alınırken i tabanının katsayısının de˘ gi¸stirmedi˘ gi ifade edilmi¸stir.
Buna göre Segre norm da :
r
h ih i
p 2 2 2 2
kqk = 4 qq  q  q  = 4 ( 1 +  3 ) +( 2 +  4 ) ( 1 −  3 ) +( 2 −  4 )
biçiminde tanımlanır.

Segre Kuaterniyonlar Kümesinde Bazı Özellikler

15.8 Teorem H S Segre kuaterniyonlar kümesinde a¸sa˘ gıdaki özellikler sa˘ glanır.
i.  ∈ R için,  p+q =  p +  q  (Lineerlik)
ii. iz (  )= q + q  + q  + q  
4
iii. det (  )= kqk 

¨ ¥
F Kanıt F Alı¸stırma olarak bırakılmı¸stır.
§ ¦