Page 249 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 249
248 Kuaterniyonlar ve Geometri Mustafa Özdemir
Elipsoidal Kuaterniyonlar ve Clifford Cebiri
15.10 Teorem R uzayının ()= 1 + 2 + 3 nondejenere kuadratik
2
3
2
2
1
3
2
¡ ¢ ¡ ¢
3
2
2
formuyla donatılmı¸sve C R 1 + 2 + 3 2 3 ile veya kısaca, C R 3 1 2 3 ile
1
2
gösterilen Clifford cebiri :
¡ 3 ¢ © 2 2 2 ª
C R = 1 +e 1 2 +e 2 3 +e 3 4 : e = 1 e = 2 e = 3 e e + e e =0
1 2 3 1 2 3
elipsoidal kuaterniyonlar kümesi, C 3 Clifford ce
biçiminde tanımlıdır. H 1 2 3
1 2 3
birinin çift altcebirine izomorftur. Yani,
= C + ¡ R 3 ¢
∼
H 1 2 3
1 2 3
izomorfizmi vardır.
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
¡ 3 ¢
+
C R çift altcebirinin tabanı
1 2 3
{1 e 1 e 2 e 1 e 3 e 2 e 3 }
kümesinin tabanındaki 1, i j k elemanlarıyla
ile belirlidir. Bu tabandaki elemanları, H 1 2 3
1 2 3
{1 e 2 e 3 → i e 1 e 3 → j e 1 e 2 → k}
∆ ∆ ∆
biçiminde birebir e¸sleyebiliriz. Bu e¸slemeyle birlikte, temel i¸slem ba˘ gıntılarının sa˘ gladı˘ gı
√
kolayca görülebilir. Örne˘ gin, ∆ = 1 2 3 oldu˘ gu da göz önüne alınarak,
³ 2 ´ 2 2 2 2
j 2 = e 1 e 3 = e 1 e 3 e 1 e 3 = 2 e 1 e 3 e 1 e 3
∆ ∆ ∆ 1 2 3
− 2 2 − 2 2 2 − 2 2
2
= e 1 e 1 e 3 e 3 = e e = 1 3 = − 2
1 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
olur. Yine,
1 2 3
ijk = e 2 e 3 e 1 e 3 e 1 e 2
∆ ∆ ∆
1
= e 2 e 3 e 1 e 3 e 1 e 2
∆
−∆
2 2
= e 2 e e e 2
3 1
1 2 3
−∆
= e 2 e 2
2
= −∆
oldu˘ gu görülebilir.
¡ ¢
∼
= C + R 3 izomorfizmi vardır.
Ohalde, H 1 2 3
1 2 3
