Page 247 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

246 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

˙
˙
Elipsoidal Kuaterniyon Çarpımının Eliptik Iç Çarpım ve Vektörel Çarpımla Ifadesi
Eliptik iç ve vektörel çarpım yardımıyla, pq çarpımı :
pq =  1  1 − B (v   v  )+  1 v  +  1 v  + V (v  × v  )
biçiminde tanımlanır. E˘ ger, p ve q has elipsoidal kuaterniyonlar ise,
¯ ¯
¯ i 1 j 2 k 3 ¯
¯ ¯
pq = −B (v   v  )+V (v  × v  )= − ( 1  2  2 +  2  3  3 +  3  4  4 )+∆  2  3  4 ¯
¯
¯ ¯
¯  2  3  4 ¯
olcaktır. Elipsoidal kuaterniyon çarpımı da matrisler yardımıyla
⎡ ⎤
 1 − 1  2 − 2  3 − 4  3
 4 ∆ ⎡ ⎤
⎢  3 ∆ ⎥
⎢  2  1 − ⎥  1
⎢ ⎥
 1  1 ⎢ ⎥
⎢ ⎥  2
pq = ⎢  4 ∆  2 ∆ ⎥ ⎢ ⎥
⎢  3  1 − ⎥ ⎣  3 ⎦
⎢  2  2 ⎥
⎣  3 ∆  2 ∆ ⎦  4
 4 −  1
 3  3
biçiminde ifade edilir.
Örnek 15.8
E :2 +2 +  =1 elipsoidine kar¸sılık gelen elipsoidal kuaterniyon kümesini tanımlayınız. Bu
2
2
2
kümedeki p =1+2i +3j+4k ve q =2+4i +j +3k eliptik kuaterniyonların çarpımını hesaplayınız.
Bu kuaterniyon kümesine ait eliptik iç çarpım ve vektörel çarpımı yazınız.
Çözüm : Yukarıda verdi˘ gimiz tanıma uygun olarak,  1 =  2 =2 ve  1 =1 alınarak,
© 2 2 2 ª
H (E)=  + i + j + k :     ∈ R, i = −2 j = −2 k = −1 ijk = −2
biçiminde ifade edilebilir. Bu kümenin çarpım tablosu da :
1 i j k
1 1 i j k
i i −2 2k −j
j j −2k −2 i
k k j −i −1
olacaktır. Herhangi p q ∈ H 221 elipsoidal kuaterniyonları için,
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
 1 −2 2 −2 3 − 4  1
⎢  2  1 − 4  3 ⎥ ⎢  2 ⎥
pq = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
 4  1 − 2
⎣  3 ⎦ ⎣  3 ⎦
 4 −2 3 2 1  1  4
biçiminde verilebilir. Buna göre, p =1 + 2i +3j +4k ve q =2 + 4i + j +3k için,
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 −4 −6 −4 2 −32
⎢ 2 1 −4 3 ⎥ ⎢ 4 ⎥ ⎢ 13 ⎥
pq = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
⎣ 3 4 1 −2 ⎦ ⎣ 1 ⎦ ⎣ 17 ⎦
4 −6 4 1 3 −9
oldu˘ gundan pq = −32 + 13i +17j − 9k bulunur. H 221 elipsoidal kuaterniyon kümesine ait iç çarpım
ve vekörel çarpım u =( 1  2  3 ) ve v (v 1  v 2  v 3 ) olmak üzere, sırasıyla,
¯ ¯
¯ i2 j2 k ¯
¯ ¯
¯
B 221 (u v)= 2 1 v 1 +2 2 v 2 +  3 v 3 ve V 221 (u × v)= ∆  1  2  3 ¯
¯ ¯
¯ ¯
v 1 v 2 v 3
biçiminde tanımlıdır.