Page 254 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Farklı Kuaterniyon Türleri 253

Eliptik Dönmelerin Bile¸skesi ve Elipsoidal Kuaterniyonlardaki Kar¸sılı˘ gı

15.12 aynı türden iki elipsoidal kuaterniyon ve bu kuaterni­
Teorem p q ∈ H  1 2 3
yonlara kar¸sılık gelen eliptik dönmeler de
ve
R p R q
olsun. Bu durumda,

R q R p = R qp
e¸sitli˘ gi vardır. Yani, sırasıyla R p ve R q dönmeleri, tek R qp dönmesiyle ifade edilebilir ve
bu tek dönmenin dönme ekseni qp çarpımının vektörel kısmıdır.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
R p (u)= v ve R q (v)= w olsun. Buna göre,
q
w =R q (v)= R q (R p (u)) = qR p (u) q −1 = qpup −1 −1 =(qp) u (qp) −1 = R qp (u)
elde edilir.
R q (R p (u)) = R qp (u)

e¸sitli˘ ginden, R q R p =R qp bulunur.

Örnek 15.12
H 221 elipsoidal kuaterniyonlar kümesinde, q =(0 12 12 0) ve p =(16 26 16 56) ku­
aterniyonlarının kar¸sılık geldikleri eliptik dönme matrislerini bulunuz. Bu iki kuaterniyonun birlikte
yaptıkları dönmeyi hangi tek kuaterniyonla ifade edebiliriz.
R q R p = R qp
oldu˘ gunu görünüz.
Çözüm : p ve q kuaterniyonlarına kar¸sılık gelen eliptik dönme matrisler sırasıyla :
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
01 0 −12 −118 1118
R q = ⎣ 10 0 ⎦  R p = ⎣ 12 −56 16 ⎦
00 −1 1 79 49
bulunabilir. Di˘ ger yandan, yukarıdaki teoremden bu iki dönmenin bile¸skesini
µ ¶
1 1 1 1
qp = −   −  − ∈ H 221
2 2 3 6
ile ifade ederiz. Buna kar¸sılık gelen eliptik dönme matrisi de
⎡ ⎤
12 −56 16
R qp = ⎣ −12 −118 1118 ⎦
−1 −79 −49
olur ki,

R q R p = R qp
oldu˘ gu görülür.