Page 256 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Farklı Kuaterniyon Türleri 255

Hiperboloidik Split Kuaterniyon Çarpımı
p =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ve q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k hiperboloidik split kuaterniyonlarının
çarpımı, genelle¸stirilmi¸s Lorentziyen skaler ve vektörel çarpım yardımıyla
pq =  1  1 +  L (V   V  )+  1 V  +  1 V  + V L (V  × V  )
biçiminde tanımlanır. Buna göre, p ve q has ise,
¯ ¯
¯ ¯
−i 1 j 2 k 3
¯ ¯
pq =  L (V   V  )+V L (V  × V  )=  1  1 v 1 + 2  2 v 2 + 3  3 v 3 +∆ ¯  1  2  3 ¯
¯ ¯
¯ ¯
v 1 v 2 v 3
olacaktır. pq hiperbolik split kuaterniyon çarpımı matrisler yardımıyla
⎡ ⎤
 1 − 1  2  3  2  3  4
 4 ∆ ⎡ ⎤
⎢ − 3 ∆ ⎥
 1
⎢  2  1 ⎥
⎢ ⎥
 1  1 ⎢ ⎥
⎢  4 ∆ ⎥  2
 = ⎢  2 ∆ ⎥ ⎢ ⎥
⎢  3  1 − ⎥ ⎣  3 ⎦
⎢  2  2 ⎥
 3 ∆  2 ∆  4
⎣ ⎦
 4 −  1
 3  3
biçiminde ifade edilebilir.

Örnek 15.13
2
−2 +2 +  = ±1 hiperboloidleri üzerindeki hareketleri dönme gibi inceleyebilmek için uygun
2
2
hiperboloidik split kuaterniyon kümesini tanımlayınız. Bu kümenin sol çarpım matrisini bulunuz. Bu
kümede tanımlanan p =1 + i +3j +4k ve q =1 − 2i + j +3k hiperboloidik split kuateniyonları için
pq çarpımını bulunuz.
Çözüm : −2 +2 +  = ±1 hiperboloidlerini birim küre kabul eden genelle¸stirilmi¸s Lorentziyen
2
2
2
skaler çarpımı
 L (u v)= − 1  1 v 1 +  2  2 v 2 +  3  3 v 3
olacaktır. Buna göre, bu hiperboloidlere uygun hiperboloidal split kuaterniyon kümesi
© 2 2 2 ª
H 123 =  1 +  2 i +  3 j +  4 k :   ∈ R, i = −2 j =2 k =1 ijk =2
b
biçiminde tanımlanır. Böylece, p =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ve q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k için,
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
 1 −2 2 2 3  4  1
⎢  2  1  4 − 3 ⎥ ⎢  2 ⎥
pq = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
 4  1 − 2
⎣  3 ⎦ ⎣  3 ⎦
 4 −2 3 2 2  1  4
olacaktır. O halde,  =1 + i +3j +4k ve q =1 − 2i + j +3k hiperboloidik split kuateniyonları için,
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 −26 4 1 23
⎢ 1 1 4 −3 ⎥ ⎢ −2 ⎥ ⎢ −6 ⎥
pq = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
⎣ 3 4 1 −1 ⎦ ⎣ 1 ⎦ ⎣ −7 ⎦
4 −62 1 3 21
elde edilir.